Главная Астрономия Астрономы предполагают, что вселенная «держится» за счет «темной гравитации»

Темная материя или темная гравитация?

Астрономы убеждены, что Вселенная ускоряется. Этот революционный прогресс бросает теоретической космологии огромный вызов, на который она до сих пор не может ответить.

Ученые считают вполне вероятным существование темной гравитации

Объяснение космического ускорения в рамках общей теории относительности Эйнштейна сопряжено непреодолимыми трудностями. Релятивистские модели основаны на поле темной энергии с неестественными свойствами. Существует большое разнообразие таких моделей, но все они имеют одну общую черту - неспособность учесть гравитационные свойства энергии вакуума.

Спекулятивные идеи из теории струн пульсируют туманными надеждами, но убедительной модели пока не предложено.

Альтернатива темной энергии заключается в предположении, что сама гравитация может вести себя иначе, чем утверждает общая теория относительности, - в самых больших, космологических масштабах, разумеется. Именно гравитация создает ускорение Вселенной или то, что астрономы воспринимают как расширение поистине глобального материального мира.

Альтернативный подход модифицированной гравитации (или темной гравитации) дает новый угол зрения на проблему, но также сталкивается с серьезными трудностями, включая проблему объяснения, почему энергия вакуума не гравитирует.

Отсутствие адекватной теоретической основы для ускорения Вселенной в поздние времена представляет собой глубокий кризис для теоретической космологии, но это же и захватывающая загадка для кабинетных ученых. Представляется вероятным, что для разрешения этого кризиса потребуется совершенно новая парадигма.

1. Введение

Современная "стандартная модель" космологии - это инвариантная модель холодной темной материи с космологической постоянной, обычно называемая LCDM, которая основана на общей относительности и физике частиц (то есть Стандартной модели и ее минимальных суперсимметричных расширений).

Темная материя или темная гравитация? Астрономі не могут определиться

Подобная модель обеспечивает превосходное соответствие богатству высокоточных данных наблюдений на основе удивительно малого числа космологических параметров [1]. В частности, независимые наборы данных по анизотропии космического микроволнового фона (КМФ), обзорам галактик и светимости сверхновых приводят к согласованному набору параметров, что якобы демонстрирует непререкаемый триумф LCDM.

Стандартная модель удивительно успешна, но мы знаем, что ее теоретическая основа, общая относительность, разрушается при достаточно высоких энергиях, обычно принимаемых за планковскую метрику,

Формула 1. Темная гравитация

Модель LCDM может дать лишь ограниченное представление об очень ранней Вселенной. При этом теория инфляции остается эффективной гипотезой, не имеющей серьезной основы в фундаментальной теории.

В свою очередь, квантовая теория гравитации способна исследовать более высокие энергии и более ранние времена; по идее, она должна обеспечить последовательный фундамент для инфляции или ее альтернативы в рамках стандартной космологической модели.

Еще более серьезной теоретической проблемой, чем инфляцция, является ускорение в поздние времена расширяюшейся Вселенной [3]. С точки зрения фундаментальных параметров плотности энергии, современная космическая энергия представляется следующим образом:

Формулы 2-3. Темная гравитация

Здесь H0 - текущее значение параметра Хаббла, Λ - космологическая постоянная, K - кривизна, ρm0 - текущая плотность материи и ρr0 - текущая плотность излучения. G - постоянная.

Уравнение Фридмана имеет вид:

Формула 4. Уравнение Фридмана

где a обозначает метрический фактор (масштаб вселенной), который связан с космологическим красным смещением через Формула 4.1. Мы нормируем данный масштабный фактор на a0 = 1. Вместе с уравнением сохранения энергии это означает, что

Формула 5. Модифицированная гравитация

Наблюдения, которые вместе с Eq (4) приводят к значениям, указанным в уравнении (5), могут говорить о том, что Вселенная в настоящее время ускоряется:

Формула 6. Вселенная расширяется

Однако такое заключение справедливо только в том случае, если Вселенная (почти) однородна и изотропна, то есть мы имеем дело с моделью Фридмана-Леметра.

В этом случае расстояние до заданного красного смещения z и время, прошедшее с момента возникновения красного смещения, тесно связаны через единственную свободную функцию этой геометрии, a(t).

Если же Вселенная вокруг нас изотропна, но не однородна, то есть если она напоминает решение Толмена-Бонди-Леметра с нашим скоплением галактик в центре, то эта тесная связь между расстоянием и временем для данного красного смещения будет потеряна, и полученные данные не обязательно означают ускорение.

Описанный момент подробно обсуждается в статье Энквиста [4]. Конечно, изотропия без однородности нарушает принцип Коперника, поскольку помещает нас в центр Вселенной. Однако следует подчеркнуть, что до сих пор наблюдения однородности очень ограничены, в отличие от изотропии, которая твердо установлена.

Однородность обычно выводится из изотропии вместе с принципом Коперника. С получением будущих данных, в принципе, будет возможно наблюдательно отличить изотропную, но неоднородную Вселенную от изотропной и однородной (см., например, [5]). В дальнейшем мы пренебрегаем этой возможностью и предполагаем, что принцип Коперника применим.

Данные также указывают на то, что Вселенная в настоящее время (почти) пространственно плоская.

Формула 7 - наблюдая вселенная - плоская

Обычно принято считать, что это подразумевает K = 0 при наличии инфляции. Однако инфляция подразумевает не K = 0, а только Формула 7-1. В поздней Вселенной такое различие может быть незначительным. Но в самом начале ненулевая кривизна может иметь значительные эффекты (см., например, [6]).

Иными словами, если кривизна мала, но не убывает, пренебрежение ею при анализе данных о сверхновых приводит к катастрофически большим ошибкам, как показано в работе Хлозека и др. [7].

Предлагаемые микровыводы проиллюстрированы на рис. 1 (взято из [8,9]). Подробное обсуждение экспериментальных аспектов ускорения в поздние времена приведено в работах Лейбундгута [10], Николя [11] и Саркара [12].

Самый простой вариант - это, вероятно, космологическая постоянная, то есть модель LCDM. Даже если космологическую постоянную можно рассматривать как просто дополнительную гравитационную постоянную (в дополнение к

Сверхновая. Космологическая модель

постоянной Ньютона), космологическая постоянная входит в уравнения Эйнштейна точно так же, как и энергия вакуума, то есть через лоренц-инвариантный тензор энергии-момента тензор энергии.

Единственным наблюдаемым признаком космологической постоянной и вакуумной энергии является их влияние на пространство-время, поэтому вакуумную энергию и космологическую постоянную нельзя отличить друг от друга. Поэтому "классическое" понятие космологической постоянной фактически неотличимо от квантовой энергии вакуума.

Несмотря на то, что абсолютное значение энергии вакуума не может быть рассчитано в рамках квантовой теории поля, изменения энергии вакуума (например, во время фазового перехода) могут быть рассчитаны, и они действительно имеют физический эффект - например, на энергетические уровни атомов (сдвиг Лэмба), который хорошо измерен.

Кроме того, были рассчитаны различия энергии вакуума, например, между двумя большими металлическими пластинами или на одной из их сторон, а также их влияние, сила Казимира[13]. Следовательно, нет никаких сомнений в реальности вакуумной энергии.

Для теории поля со шкалой энергии отсечки E плотность энергии вакуума масштабируется с отсечкой как ρ vac ∼ E 4 , что соответствует космологической постоянной Λ vac = ρ vac /(8πG). Если E = Mp , это дает перенормировку "космологической постоянной" около Λ vac ∼ 10 38 ГэВ 2 , тогда как измеренная эффективная космологическая постоянная является суммой
"голой" космологической постоянной и вклада от перенормировки,
Λ eff = Λ vac + Λ ≃ 10 -83 ГэВ 2

Формула 8. Энергия и космологическая постоянная

Следовательно, требуется отмена примерно на 120 порядков. Это называется “тонкой настройкой” или проблемой объема темной энергии: отмена необходима для получения результата, который на много порядков меньше каждого из членов. Возможно, что энергия квантового вакуума намного меньше, чем метрика Планка.

Но даже если мы установим ее на минимально возможном масштабе SUSY, E susy ∼ 1TeV, утверждая, что при более высоких энергиях энергия вакуума точно аннулируется из-за суперсимметрии, требуемое аннулирование все равно составляет около 60 порядков. Эти вопросы обсуждаются в работах Падманабхана [14] и Буссо [15].

Разумным отношением к этой открытой проблеме является надежда на то, что квантовая гравитация объяснит эту отмену. Но тогда гораздо более вероятно, что мы получим непосредственно Λ vac + Λ = 0, а не Λ vac + Λ ≃ 3ρ m (t 0 )/(8πG). Этот неожиданный результат наблюдений приводит ко второй проблеме - проблеме совпадения: учитывая, что

Формула 9. Проблема в космологии

Почему ρ Λ ИМЕЕТ порядок нынешней плотности материи ρm (t0 )? Она была совершенно ничтожной в большей части прошлого и будет полностью доминировать в будущем.

Вместо космологической постоянной можно также ввести скалярное поле или какой-либо другой элемент в тензор энергии-момента, который имеет уравнение состояния w < −1/3. Такой компонент называется "темной энергией". До сих пор не было предложено никакой последовательной модели данного элемента, которая могла бы дать естественно-научное объяснение рассматриваемой проблемы. Разнообразие таких моделей обсуждается в статье Линдера [16].

В качестве альтернативы предположим, что поля темной энергии не существует, но вместо этого ускорение в поздние времена является сигнатурой гравитационного эффекта. В рамках общей теории относительности возникает требование, чтобы воздействие неоднородностей каким-то образом приводило к ускорению или появлению ускорения (в рамках интерпретации Фридмана-Леметра).

Один из возможных вариантов - модель Толмена-Бонди-Леметра, обсуждавшаяся в [4]. Другая возможность заключается в том, что "обратная реакция" неоднородностей, обработанная с помощью нелинейного усреднения, создает эффективное ускорение. Далее смотрите предположение Бухерта [17].

Более радикальным выглядит подход "темной гравитации" - идея о том, что сама гравитация ослаблена в больших масштабах, то есть что существует "инфракрасная" модификация общей относительности, которая объясняет ускорение в поздние времена. Специфические классы моделей, модифицирующих гравитацию, обсуждаются в работах Капоцциелло и Франкавилья [18] и Коямы [19]. Схематически, мы изменяем геометрическую со стороны уравнений поля,

Формула 10. Модифицированная гравитация

а не со стороны материи,

Формула 11. Модифицированная гравитация

как в подходе общей теории относительности.

Модифицированная гравитация представляет собой интригующую возможность для разрешения теоретического кризиса, вызванного ускорением поздней вселенной. Однако модифицировать общую теорию относительности Эйнштейна в системах низких энергий чрезвычайно сложно, так как нарушаются ограничения, с ними связанные. Не смотря на свою призрачность, в космологии не существует убедительной альтернативы моделям темной энергии. Возникает логический круг, из которого теоретическая космология не может вырваться.

Оставшаяся часть данной работы построена следующим образом.

В разделе 2 мы обсуждаем ограничения, которые можно сформулировать для теории темной энергии или модифицированной гравитации (темной гравитации), исходя из основных теоретических требований.

В разделе 3 мы обсуждаем модели, которые решают проблему темной энергии в рамках общей теории относительности.

В разделе 4 мы представляем модели модифицированной гравитации.

В разделе 5 мы подводим итоги.

2 Ограничения эффективных теорий

Теории темной материи и темной энергии часто имеют очень необычные лагранжианы, которые не могут быть квантованы обычным способом, потому что они имеют нестандартные кинетические члены. Мы просто называем их "эффективными теориями низких энергий", предполагая наличие более общей теории высоких энергий, которую мы не уточняем.

В этом разделе мы хотим указать на несколько свойств эффективных теорий низких энергий. Сначала мы перечислим необходимые свойства базовой физической теории на классическом и квантовом уровне. Затем обсудим, какие из этих требований наследуются эффективными описаниями низких энергий.

2.1 Фундаментальные физические теории

Здесь мы приводим минимальный список свойств, которые мы требуем от фундаментальной физической теории. Конечно, все перечисленные ниже пункты открыты для обсуждения, но, по крайней мере, мы должны знать, что мы теряем, когда отказываемся от них.

В нашем списке мы начинаем с самых основных требований, которые по мере продвижения становятся все более строгими. Несмотря на то, что некоторые теоретики могли бы жить без одного или нескольких из обсуждаемых здесь критериев, мы считаем, что все они очень хорошо обоснованы. Более того, все известные современные физические теории, включая струнную и М-теорию, соблюдают их.

2.1.1. Физическая теория позволяет математически описать некую реальность или то, что мы подразумеваем под реальностью

Это основная идея теоретической физики. Она вполне может оказаться ошибочной на каком-то этапе, но она обязательно проходить сквозь этап рабочей гипотезы для всего того, что мы называем теоретической физикой. Если у нее есть ограничения, их можно назвать ограничениями самой теоретической физики.

2.1.2. Физическая теория допускает лагранжеву формулировку

Фундаментальные физические теории имеют лагранжеву формулировку. Это требование, конечно, намного сильнее предыдущего. Но оно было чрезвычайно успешно и потому стало руководящим принципом для развития квантовой теории поля и теории струн в 20 веке.

Если мы откажемся от него, все пойдет как по маслу. Тогда мы можем просто сказать, что эволюция масштабного фактора Вселенной подчиняется Формула 405-11-1, назовем это физической теорией и подберем четыре параметра A, B, C и t0 из космологических данных.

Конечно, большинство аналоговых изысканий не заслуживает названия "теория"; это просто подгонка к данным.

Тем не менее, иногда к подобным причудам относятся более серьезно, чем следовало бы. Некоторые "теории меняющейся скорости света" без лагранжевой формулировки оставляют нам большую или меньшую свободу в определении эволюции скорости света в ходе истории расширения Вселенной.

Впрочем, если мы вводим формулировку Лагранжа, мы понимаем, что большинство этих теорий - вариации скалярно-тензорных моделей гравитации, которые хорошо определены и подробно описаны.

Если мы хотим сохранить глубокие физические идеи, такие, как теорема Нотера, которая связывает симметрию с законами сохранения, нам придется прописать лагранжеву формулировку физической теории.

Основным ингредиентом лагранжевой физической теории является понимание того, что каждая физическая степень свободы имеет кинетический член, который обычно состоит из производных первого порядка по времени, а также может иметь "потенциальный член", который не включает производные.

В лагранжевой формулировке фундаментальной физической теории мы не допускаем внешних, произвольно заданных функций. Каждая функция должна быть степенью свободы теории, чтобы ее эволюция определялась самосогласованно через уравнения движения Лагранжа, которые имеют первый или второй порядок.

Возможно, что лагранжиан содержит также производные более высокого порядка, чем первый, но такие теории сильно ограничены проблемой призраков, которую мы упомянем ниже, и тем фактом, что соответствующие уравнения движения обычно описываются неограниченным гамильтонианом, то есть система неустойчива (теорема Остроградского [20,21]).

Например, для гравитационного лагранжиана в 4 измерениях мы можем допустить только функцию, зависящую от R и ее производных, где R - скаляр кривизны Римана.

2.1.3. Лоренц-инвариантность

Мы также выдвигаем требование лоренц-инвариантности теории. Обратите внимание, что это требование намного сильнее, чем требование простой "ковариантности". В теории не должно быть никаких "абсолютных элементов", кроме истинных констант.

Лоренц-ковариантность всегда может быть достигнута путем переписывания уравнений. В качестве примера рассмотрим лагранжиан, заданный в плоском пространстве формулой (∂ t φ) 2 − (∂ x φ) 2. ОН явно не является лоренц-инвариантным. Однако мы можем тривиально записать этот член в ковариантной форме Формула 405-11-2, задав Формула 405-11-3. Нечто подобное, конечно, не должно допускаться в фундаментальной теории. Член в форме Формула 405-11-4 допустим только в том случае, если он сам является динамическим в поле теории. Именно это мы имеем в виду, требуя, чтобы теория не содержала "абсолютных элементов", то есть была лоренц-инвариантной, а не просто ковариантной.

2.1.4. Призраки

Призраки - это поля, кинетический член которых имеет неправильный знак.Такое поле, вместо того чтобы замедляться при подъеме потенциала, ускоряется. Эта нестабильная ситуация приводит к серьезным проблемам, когда мы хотим квантовать его.

Общепризнано, что такая теория не имеет смысла, по крайней мере, на квантовом уровне. Это неудивительно, поскольку квантование обычно понимается как определение возбуждений над некоторым основным состоянием, а теория с призраком не имеет четко определенного основного состояния. Его кинетическая энергия предполагает неправильный знак, и чем больше φ̇ 2, тем меньше энергия.

2.1.5. Тахионы

Это степени свободы, которые имеют отрицательную массу в квадрате, m2 < 0. Используя снова пример простого скалярного поля, получается, что вторая производная потенциала относительно "вакуумного значения" (φ = 0 с ∂ φ V (0) = 0) отрицательна, ∂ φ 2 V (0) < 0.

Не то, что теория не имеет смысла, скорее, φ = 0 - плохой выбор для расширения, так как это максимум, а не минимум потенциала, поэтому и возникает неустойчивое равновесие.

В то же время теория не может быть квантована вокруг классического решения φ = 0, но она может стать хорошей квантовой теорией простым сдвигом φ → φ − φ0, где φ0 - минимум потенциала. Если потенциал фундаментального скалярного поля не имеет минимума, а только максимум, то ситуация более серьезная. Тогда теория действительно неустойчива.

Последние две проблемы, вместе с неустойчивостью Остроградского, которая появляется в теориях с более высокими производными, можно свести к следующему: значимая теория должна иметь ограниченный функционал энергии.

2.1.6. Сверхсветовая скорость и причинность

Фундаментальная физическая теория, в которой соблюдается инвариантность Лоренца, не допускает сверхсветовых скоростей. Если это условие не выполняется, мы можем построить замкнутые кривые, по которым сигнал распространяется таким образом.

Рассмотрим моды поля φ, которые могут распространяться быстрее скорости света, со скоростями v 1 > 1 и v 2 > 1. Рассмотрим систему отсчета R и систему отсчета R ′, которая ускорена относительноR со скоростью v в направлении x, и которые совпадают в начале координат, q 0 (см. рис. 2).

Мы выбираем v таким образом, что 1/v 1 < v < 1. Теперь наблюдатель в R посылает сигнал из q0, координаты которого равны
(t, x) = (0, 0) = (t′ , x′ ), со скоростью сигнала v 1 в направлении x. В момент времени t1 этот сигнал приходит к событию q1 , с координатами (t1 , x1 ) в R-кадре, где x1 = v1t1 .

Там он принимается наблюдателем, который находится в покое относительно R′, и который возвращает сигнал со скоростью v2′ в направлении -x к событию q2 = (t2,0) (см. рис. 2). Мы хотим показать, что при соответствующем выборе v2′ время t2 становится отрицательным.

Мы обозначим позиции и времена в ускоренной рамке как R′. Тогда имеем x′2-x′1 =v2′(t′2-t′1 ). Применяя обычные формулы для преобразований Лоренца, находим, что 0=x2=γ(x′2+vt′2) и t2 =γ-1t′2 .

С другой стороны, мы имеем x′1=γ(x1-vt1)=γ(v1 - v)t1 и t′1 =γ(t1-vx1 )=γ(1-vv1)t 1 . Заметим, что поскольку мы требуем, чтобы vv1 >1, из этого следует, что t′1 отрицательно.

Сигнал, который движется со скоростью больше 1/v в кадре R, движется в прошлое в кадре R′. Событие (t′1, x′1), при котором сигнал достиг отметки x′1, наступает раньше, чем событие (0, 0), когда оно покидает позицию 0.

Относительно R ситуация противоположная: сигнал покинул 0 раньше, чем достиг x1, t1 > 0. То же самое произойдет, если мы теперь
пошлем обратно сигнал из 0 в R ′ со скоростью |v2′| >1/v. Этот сигнал будет двигаться назад во времени t относительно R и придет раньше, чем в момент времени t1, когда он был послан.

Для достижения ∆t′ =t′2-t′1 = γ(∆t - v∆x) = γ(1 - vv2 )∆t > 0, и в то же время ∆t < 0, нам нужно, чтобы vv2 > 1, следовательно, v2 >1/v.

Как видно из рис. 2, v2 , которая является обратной величиной наклона прямой линии, соединяющей q2 и q1, должна быть меньше v1, обратного наклона прямой от q0 до q1 . Следовательно, необходимо, чтобы 1/v1<1/v2

Образовавшаяся таким образом петля не является "причинной", поскольку и траектория от q0 до qi, и траектория от qi до q2 пространственноподобны. Поэтому мы не можем говорить о формировании замкнутых причинных петель, но, тем не менее, это замкнутая петля, по которой может распространяться сигнал и которая, следовательно, позволяет построить машину времени, что приводит к обычным проблемам с причинностью и энтропией.

Хорошо известно, что в теории относительности события с пространственноподобным разделением, такие как q0 и qi или qi и q2 , не имеют четко определенной хронологии.

В зависимости от системы отсчета, одно из них происходит раньше другого. Поэтому сверхсветовое движение приводит к возможности существования машин времени.

Сверхсветовое движение не совместимо с эквивалентностью всех инерциальных систем отсчета. Если мы допускаем сверхсветовое движение, но при этом требуем, чтобы сигналы посылаются только вперед во времени, то событие, например, q2, лежащее в прошлом qi в системе отсчета R, может быть достигнуто с помощью сигнала, испущенного в системе отсчета R', но оно не может быть достигнуто, если сигнал испускается из источника в R.

Как возникает отрицательное время

В системе отсчета, которая движется со скоростью v = 1/vi относительно R, мода, которая распространяется со скоростью vi в R, имеет бесконечную скорость. Это означает, что уравнение распространения для этой моды не имеет вид уже эллипса, то есть оно стало уравнением ограничений.

В этой системе отсчета эволюция моды в прямом световом конусе малого пятна больше не может быть определена значениями поля (и их первых производных) в малом пятне; уравнение моды нелокально.

Во всех системах отсчета, движущихся со скоростью v>1/vi относительно R, существуют два направления, в которых моды со скоростью распространения vi подчиняются эллиптическим уравнениям движения. Следовательно, проблема Коши в этой логике  не является хорошо поставленной. Это сводит на нет эквивалентность всех систем отсчета.

На первый взгляд можно подумать, что лоренц-инвариантный лагранжиан автоматически запрещает сверхсветовые движения. Но ситуация не так проста. Уже в 1960-х годах Вело и Цванцигер [23] обнаружили, что общие лоренц-инвариантные теории с высшим спином, s>1, приводят к сверхсветовым движениям. Хотя уравнения явно лоренц-инвариантны, их характеристики в общем случае не совпадают со световым конусом и вполне могут быть пространственноподобными. Из этого правила есть исключения, среди которых теория Янга-Миллса для спина 1 и линеаризованные уравнения Эйнштейна для спина 2.

Можно возразить на том основании, что общая теория относительности, которая, безусловно, является приемлемой (по крайней мере, на классическом уровне), может привести к замкнутым причинно-следственным кривым, даже если она не допускает сверхсветового движения.

В прошлом было построено несколько решений общей теории относительности с замкнутыми причинными кривыми, см., например [24,25,26].

Но эти конструкции требуют бесконечной энергии, как в работе [25], с двумя бесконечными энергиями [25] или двумя бесконечно длинными прямыми космическими струнами; наче они должны нарушать условие доминирующей энергии, как в работе [24], где червоточины, как в работе [25]. [24] или замкнутая каузальная кривая скрыта за горизонтом событий, как в работе [26], где обычный замкнутый круг в пространстве преобразуется в каузальную кривую путем перемещения его за горизонт, - здесь соответствующая угловая координата становится временной.

Тем не менее, возможность замкнутых причинных кривых в общей теории относительности при определенных условиях остается предметом беспокойства, см., например, [27].

Ситуация несколько иная, если сверхсветовое движение возможно только в фоне, нарушающем лоренц-инвариантность. Тогда возникает предпочтительная рамка и можно указать, что возмущения всегда должны распространяться с функцией Грина в этой рамке [28].

Тем не менее, следует признать, что существуют ускоренные рамки, относительно которых задача Коши для сверхсветовых мод не является хорошо определенной. Физика, которую испытывает наблюдатель в такой рамке, очень необычна (мягко говоря).

Свойства аналитичности имеют много других важных следствий, таких как ограничение Фруассара, которое подразумевает, что полное сечение сходится при высоких энергиях [29].

2.2 Эффективные теории низких энергий

Концепция низкоэнергетических эффективных теорий чрезвычайно полезна в физике. В качестве одного из наиболее ярких примеров рассмотрим сверхпроводимость. Это явление невозможно описать с помощью полной квантовой электродинамики с типичной энергетической шкалой в МэВ, в то время как энергетическая шкала сверхпроводимости составляет миллиэВ и менее.

Однако многие аспекты сверхпроводимости могут быть успешно описаны с помощью теории Гинзбурга-Ландау комплексного скалярного поля.

Микроскопически это скалярное поле можно отождествить с куперовской парой из двух электронов, но это не имеет значения для многих аспектов альтернативных теорий, в частности, теории струн.

Другой пример -слабое взаимодействие и теория четырех Ферми. Последняя является хорошим приближением к слабым взаимодействиям в энергетических масштабах намного ниже массы Z-бозона.

Большинство физиков также рассматривают стандартную модель физики частиц как низкоэнергетическую эффективную теорию, которая справедлива ниже некоторого высокоэнергетического масштаба, за которым становятся актуальными новые степени свободы.

Теперь мы хотим исследовать, какие из свойств, описанных в предыдущем подразделе, могут быть потеряны, если мы "интегрируем" высокоэнергетические возбуждения и будем рассматривать только процессы, происходящие при энергиях ниже некоторой шкалы отсечки.

Мы не можем полностью игнорировать все частицы с массами выше, поскольку в низкоэнергетической квантовой теории они все еще могут быть произведены "виртуально", то ечть за время меньшее, чем 1/Ec. Это не имеет значения для начального и конечного состояний процесса рассеяния, но играет роль во взаимодействии.

В качестве примера рассмотрим теорию 4-х Ферми. Вершина в 4 фермионном взаимодействии получается интегрированием по W и Z обменам, как показано на рис. 3. Хотя конечные состояния этой теории содержат только электроны и нейтрино, виртуальное присутствие массивных W и Z является жизненно важным длявзаимодействия между ними.

Виртуальное представление элементарных частиц

Возвращаясь к нашему списку в предыдущем подразделе, мы, конечно, хотим сохранить первый пункт - математическое описание. Но формулировка лагранжиана также сохраниться, если мы будем действовать последовательно, просто интегрируя высокоэнергетические степени свободы.

А как насчет производных более высокого порядка в лагранжиане? Чтобы ответить на этот вопрос, давайте кратко повторим основной аргумент теоремы Остроградского для одномерной частицы с зависящим от времени положением q(t).

Если лагранжиан зависит только от q и q̇, то требование δS = 0 приводит к обычному уравнению Эйлера-Лагранжа,

Формула 405-12

Теперь мы можем ввести канонические координаты q и Формула 405-12-1. Тогда гамильтониан задается преобразованием Лежандра L по переменной q,

Формула 405-13

а уравнение Эйлера-Лагранжа влечет за собой канонические уравнения

Формула 405-14

Эта процедура хорошо определена, если лагранжиан недегенеративен, то есть если уравнение 405-14-1 может быть решением для q̇(q, p). Локально это эквивалент 405-14-1. Мы предполагаем, что система автономна (нет внешней зависимости от времени). Тогда H = E является интегралом движения, энергией решения, и система называется устойчивой, если H ограничена снизу. Если H не ограничена снизу, то взаимодействия системы, например, с излучением, приведут к огромному производству безмассовых частиц, приводя систему ко все более низкой энергии.

Если L зависит также от q, т.е. L(q, q̇, q̈), то вариационный принцип дает

Формула 405-15

Это дифференциальное уравнение четвертого порядка, и его решения зависят от четырех начальных данных, q(0), q̇(0), q̈(0) и q (0). Гамильтонова формулировка теперь потребует четырех канонических переменных, которые могут быть выбраны как

Формула 405-16

Гамильтониан, полученный преобразованием Лежандра лагранжиана относительно координат q̇ ≡ q 2 и q̈, дает

Формула 405-17

Эта процедура хорошо определенne q̈.а, если лагранжиан является недегенеративным в том смысле, что p 2 ≡ ∂L/∂ q̈ может быть инвертирован в детерминант q̈. Локально это проявляется как Формула 405-17-1

Легко проверить, что канонические уравнения сатисфицируются, а H является интегралом движения. Но поскольку лагранжиан является функцией только трех, а не четырех переменных, p1 не нужен для выражения q̈ в терминах канонических переменных. Он появляется только линейно в члене p1q2 и таким образом H не может быть ограничен снизу, то есть система неустойчива.

Конечно, можно найти хорошо управляемые решения этой системы, поскольку для данного решения энергия сохраняется. Но как только система начнет взаимодействовать, например, с гармоническим осциллятором, она будет снижать свою энергию и порождать все больше и больше колебательных мод.

Это особенно серьезно, если квантовать систему. Вакуум экспоненциально неустойчив к одновременному производству мод положительной и отрицательной энергии. Конечно, нельзя просто "отсечь" решения с отрицательной энергией, не нарушая унитарности. И даже если рассматриваемая теория, являясь лишь низкоэнергетической эффективной теорией, она, должна быть, по крайней мере, "унитарной при низкой энергии".

Понятно, что введение еще более высоких производных только ухудшает ситуацию, поскольку степень уравнения Эйлера-Лагранжа увеличивается на 2 с каждой новой степенью свободы. Следовательно, если лагранжиан имеет степень 2 + n, то для описания гамильтониана необходимо n +1 пар канонических переменных, из которых только n + 2 необходимы для инверсии лагранжиана. Следовательно, n моментов появляются только линейно в членах p j q̇ j (q 1 , · · · , q n+1 , p n+1 ), гамильтониан имеет n неустойчивых направлений.

В этом споре совершенно неважно, являются ли обсуждаемые нами степени свободы фундаментальными или только низкоэнергетическими эффективными степенями свободы. Даже если мы изменим гамильтониан при высоких энергиях, неустойчивость, которая является проблемой низкой энергии, не исчезнет.

Есть только два пути выхода из неустойчивости Остроградского:

Во-первых, если не выполняется необходимое условие, чтобы L была невырожденной.

Вторая возможность - через ограничения.

В системе с m ограничениями, в принципе, можно исключить m переменных. Следовательно, если система 2 + n порядка имеет n ограничений, то можно устранить все неустойчивые направления. На практике это необходимо изучать в каждом конкретном случае.

Важным примером для проблемы темной энергии являются модифицированные гравитационные лагранжианы вида

Формула 405-18

Здесь R μν - тензор Риччи, C μναβ - тензор Вейля, а f (x1, x2, x3) - произвольная (не менее трех дифференцируемая по времени) функция. Поскольку тензоры кривизны содержат вторые производные от метрики, результирующие уравнения движения в общем случае будут четвертого порядка, теорема Остроградского применима.

Обычная гамильтонова формулировка общей теории относительности приводит к шести независимым метрическим компонентам g ij, которые все приобретают высшие производные.

На самом деле существует только один выход - случай ∂ 2 f = ∂ 3 f = 0, т.е. f может зависеть только от R. Причина в том, что в римановом скаляре R только одна компонента метрики содержит вторые производные. В этом случае вытекающая новая степень свободы может быть полностью зафиксирована ограничением g 00, так что единственная неустойчивость в теориях f (R) - это обычная неустойчивость, связанная с гравитационным коллапсом (см. [21]).

Таким образом единственными приемлемыми обобщениями общей теории относительности являются теории f (R), рассмотренные в работе [18].

Если теорема Остраградского не применима, у нас все еще нет гарантий, что в теории нет призраков или что потенциальная энергия ограничена снизу (нет "серьезного" тахиона). Ограничение из теоремы Остроградского, а также проблема призраков и тахионов могут быть сформулированы в виде требования, что теория должна иметь функционал энергии, ограниченный снизу. Это условие, конечно, не может исчезнуть в последовательной низкоэнергетической версии фундаментальной теории, которая ему удовлетворяет.

Как и призраки, неустойчивость Остроградского в принципе может быть излечена добавлением члена ∝ (Φ/m) 2 (∇φ) 2 к неустойчивому режиму φ, где φ - очень тяжелая частица с массой M>>m, которой пренебрегали в низкоэнергетическом приближении теории.

Однако это означает, что полная теория низких энергий фактически должна содержать член M/m) 2 (∇φ) 2. Следствиям, выведенным в рамках теории низких энергий с пренебрежением этого члена, в общем случае нельзя доверять. Только детальный анализ каждого конкретного случая может выявить, какие результаты теории низких энергий все еще применимы, а какие изменены связью с массивным полем φ.

Более того, отсечка высокой энергии будет задаваться некоторым массовым масштабом, то есть некоторым лоренц-инвариантным энергетическим масштабом теории, и поэтому эффективная теория низких энергий должна также допускать лоренц-инвариантный лагранжиан. Лоренц-инвариантность не является высокоэнергетическим явлением, которое может быть просто потеряно при низких энергиях.

Как насчет сверхсветового движения и причинности? Мы не хотим требовать определенных свойств матрицы S к теории низких энергий, поскольку последняя может не иметь осмысленной пертурбативной квантовой составляющей; как и теория 4-х Ферми, она перенормирована.

Кроме того, можно утверждать, что в космологии у нас есть предпочтительная рамка, поэтому лоренц-инвариантность нарушается, и мы можем просто потребовать, чтобы все сверхсветовые моды поля распространялись вперед в космическом времени. Тогда никакие замкнутые сигнальные кривые невозможны.

Но этот последний аргумент очень опасен. Очевидно, что большинство решений теории лагранжиана действительно самопроизвольно нарушают большинство симметрий лагранжиана.

Но при применении преобразования Лоренца мы получаем новое решение, которое, с точки зрения лагранжиана, имеет такое же право на существование.

Если некоторые моды поля распространяются со сверхсветовой скоростью, это означает, что их характеристики пространственноподобны. Условие, что мода должна двигаться вперед во времени по отношению к некоторой рамке, подразумевает, что нужно использовать замедленную функцию Грина в этой рамке.

Поскольку пространственноподобные расстояния не имеют независимой от рамки хронологии, для пространственноподобных характеристик это утверждение зависит от рамки. В зависимости от системы отсчета, данная мода может представлять собой нормально распространяющуюся степень свободы, или она может удовлетворять эллиптическому уравнению, ограничению.

Более того, чтобы убедиться, что режим распространяется вперед относительно одной фиксированной системы отсчета, придется использовать иногда замедленную, иногда опережающую, а иногда производную обеих функций, в зависимости от системы отсчета.

В космологической постановке это можно сделать последовательным образом, но далеко не ясно, что такое предписание может быть однозначно реализовано для общих низкоэнергетических решений. Действительно, в работе [30] набросано решение, которое не допускает этого, так что замкнутые кривые сигнала снова возможны.

Поэтому мы считаем, что Лоренц-инвариантные низкоэнергетические эффективные лагранжианы, которые допускают супер-люминальное распространение определенных мод, должны быть отвергнуты. Тем не менее, этот случай не столь однозначен и в литературе существуют противоположные мнения, например, [28].

С появлением "ландшафта" [31] физики начали рассматривать антропные аргументы для обоснования своей теории, когда она соответствует данным. Несмотря на то, что существование жизни на Земле является экспериментальным фактом, мы считаем этот аргумент слабым, почти равносильным отказу от физики: "Вещи такие, какие они есть, поскольку иначе нас бы здесь небыло".

Тем не менее, мы считаем важнымзадаться вопросом с чисто теоретической точки зрения, действительно ли "все возможно" для эффективных теорий. В следующих разделах мы вернемся к основным требованиям, которые мы изложили в пройденной части.

3 Общие релятивистские подходы

Стандартная" общая релятивистская интерпретация темной энергии основана на космологической постоянной как энергии вакуума:

Формула 405-19

где тензор энергии-моментума вакуума является лоренц-инвариантным. Этот подход сталкивается с проблемой учета невероятно малого и очень тонко настроенного значения энергии вакуума, как обобщенно показано в уравнении (8).

Теория струн предоставляет дразнящую возможность в виде "ландшафта" вакуумов [31]. По-видимому, существует огромное количество вакуумов, допускаемых теорией струн, с широким диапазоном вакуумных энергий выше и ниже нуля. Это обсуждается у Буссо [15].

Идея заключается в том, что наблюдаемая нами область Вселенной соответствует определенной небольшой положительной энергии вакуума, в то время как другие области с сильно отличающимися энергиями вакуума будут выглядеть совершенно иначе. Множество регионов образует в некотором смысле "мультивселенную". Это интересная идея, но она весьма спекулятивна, и неясно, насколько она переживет дальнейшее развитие теории струн в космологии.

Альтернативным взглядом является интерпретация A как классической геометрической постоянной (см., например, [32]), наравне с постоянной Ньютона G. Таким образом, уравнения поля интерпретируются геометрически,

Формула 405-20

При таком подходе небольшое и тонко настроенное значение Λ является не большей загадкой, чем множество других тонких настроек констант природы. Например, изменение силы сильного взаимодействия более чем на 2% означает, что не могут образовываться атомы, отличные от водорода, поэтому звезды и галактики не возникнут.

Однако такой классический подход к Λ не избавляет нас от проблемы энергии вакуума - он просто переводит эту проблему в плоскость "почему вакуум не гравитирует?".

Идея состоит в том, что физика частиц и квантовая гравитация каким-то образом обнаружат механизм отмены или симметрии, чтобы объяснить, почему ρ vac = 0. Это было бы более простым решением, чем то, на которое указывает подход струнного ландшафта, и позволило бы избежать тревожных антропных аспектов этого подхода.

Тем не менее, не очевидно, является ли это различие между Λ и ρ vac действительно физическим утверждением или чистой теорией, которая не может быть проверена никакими экспериментами.

В рамках общей теории относительности были исследованы различные альтернативы.

3.1 Динамическая темная энергия: квинтэссенция

Здесь мы заменяем константу Λ/8πG на плотность энергии скалярного поля φ, с лагранжианом

Формула 405-21

так что в космологических условиях,

Формула 405-22-24

Поле сворачивает свой потенциал, и плотность темной энергии меняется в течение истории Вселенной. Были найдены "следящие" потенциалы, для которых плотность энергии поля следует за плотностью энергии доминирующего компонента материи. Это дает возможность решить или облегчить проблему тонкой настройки поля.

Хотя эти модели нечувствительны к начальным условиям, они требуют сильной тонкой настройки параметров лагранжиана, чтобы обеспечить недавнее доминирование поля, и, следовательно, не избавляют от проблемы совпадений. В более общем случае потенциал квинтэссенции, подобно потенциалу инфлатона, остается произвольным до тех пор, пока фундаментальная физика не выберет потенциал. В настоящее время не существует естественного выбора потенциала.

В заключение следует отметить, что пока нет убедительных причин для того, чтобы предпочесть квинтэссенцию модели темной энергии LCDM. Модели квинтэссенции не кажутся более естественными, лучше мотивированными или менее надуманными, чем LCDM. Тем не менее, они являются жизнеспособной возможностью, а вычисления просты. Поэтому они остаются интересной мишенью для наблюдений. Более подробную информацию и ссылки можно найти в статье [16].

3.2 Динамическая темная энергия: более общие модели

Можно соединить квинтэссенцию с холодной темной материей, так что уравнения сохранения энергии становятся

Формулы 405-25-26
 

де J - обмен энергией [33,34].

Другая возможность - скалярное поле с нестандартным кинетическим членом в лагранжиане,например,

Формула 405-27

Стандартный лагранжиан имеет F (φ, X) = X. Некоторые из нестандартных моделей F могут быть исключены по теоретическим соображениям. В качестве примера можно привести "фантомные" поля с отрицательной плотностью кинетической энергии (призраки), F (φ, X) = −X. Они имеют w < −1, так что их плотность энергии растет с расширением. Это странное поведение отражается в неустойчивости квантового вакуума для фантомных полей.

Другой пример - поля "k-эссенции" [35], у которых F (φ, X) = φ −2 f (X). В этих теориях нет призраков, и они могут производить ускорение в поздние времена. Скорость звука флуктуаций поля для лагранжиана в уравнении (27) равна

Формула 405-28

Для стандартного лагранжиана c 2 s = 1. Но для класса F, порождающих модели ускоряющейся k-эссенции, оказывается, что всегда существует эпоха, в течение которойc 2 s > 1, так что эти модели могут быть исключены в соответствии с нашим требованием причинности. Они нарушают стандартную причинность [36].

Для моделей, не исключенных на теоретических основаниях, существует та же общая проблема, что и с квинтэссенцией, то есть ни одна модель не мотивирована лучше, чем LCDM, ни одна не выбрана фундаментальной физикой, и любой выбор модели более или менее произволен. Квинтэссенция, по крайней мере, имеет преимущество простоты - хотя LCDM имеет такое же преимущество перед квинтэссенцией.

При исследовании типовых моделей темной энергии мы всегда должны помнить, что поскольку и темная энергия, и темная материя обнаруживаются только гравитационно, мы можем измерить только тензор полного импульса энергии темной компоненты(29)

Формула 405-29

Следовательно, если у нас нет информации об уравнении состояния темной энергии, существует вырождение между уравнением состояния темной энергии w(t) и Ω dm. Без дополнительных предположений мы не можем измерить ни одно из них [37]. Это вырождение становится еще хуже, если мы допускаем взаимодействие между темной материей и темной энергией.

3.3 Темная энергия как нелинейный эффект от структуры

Поскольку формируется структура и возмущение плотности материи становится нелинейным, возникают два вопроса: (1) каков эффект обратной реакции этого нелинейного процесса на фоновую космологию; (2) как нам провести ковариантное и калибровочно-инвариантное усреднение по неоднородной Вселенной, чтобы получить правильный FRW фон?

Упрощенные ответы на эти вопросы таковы:

  1. эффект пренебрежимо мал, поскольку он возникает на слишком малых масштабах, чтобы быть космологически значимым;
  2. в свете этого фон не зависит от формирования структуры, он такой же, как и в линейном режиме.

Для полного решения обоих вопросов необходим количественный анализ. Однако это очень сложно, поскольку существенным образом затрагивает нелинейные особенности общей теории относительности.

Были заявления, что эти упрощенные ответы неверны, и что, напротив, эффекты достаточно велики, чтобы имитировать ускоряющуюся Вселенную.

Действительно, было драматическое и удовлетворительное решение проблемы совпадений, без необходимости какого-либо поля темной энергии. Конечно, проблема того, почему вакуум не гравитирует, остается. Данный вопрос обсуждается в работе [17].

Однако указанные соображения оспариваются, и справедливо сказать, что пока нет убедительной демонстрации того, что ускорение может возникнуть естественным образом из нелинейных эффектов формирования структуры, см. [38]. Но тут следует отметить, что эффекты обратного действия/усреднения могут быть значительными, даже если они не приводят к ускорению.

Возможно также, что окружающая нас Вселенная больше похожа на сферически симметричное, но неоднородное решение уравнения Эйнштейна – она больше схожа на Вселенную Толмана-Бонди-Леметра, нежели на Вселенную Фридмана-Леметра.

То, что кажется нам космическим ускорением, объясняется в рамках простых моделей материи, содержащих только пыль. Однако это означает, что мы находимся очень близко к центру огромной сферической структуры. Помимо нарушения принципа Коперника, возникает еще одна проблема тонкой настройки. Эта идея обсуждается в статье [4].

Ускорение в поздние времена от нелинейных эффектов формирования структур - попытка в рамках общей теории относительности решить проблему совпадений без поля темной энергии.

4. Модификация теории

Модифицированный гравитационный подход разделяет предположение об отсутствии поля темной энергии, но генерирует ускорение посредством "темной гравитации", то есть ослабления гравитации на самых больших масштабах, за счет модификации самой общей относительности.

Может ли ускорение Вселенной в поздние времена быть гравитационным эффектом? (Заметим, что это также не снимает проблему объяснения, почему энергия вакуума не гравитирует).

Историческим прецедентом являются попытки объяснить аномальную прецессию перигелия Меркурия "темной планетой", названной Вулканом. В конце концов, было обнаружено, что необходима модификация ньютоновской гравитации.

Как мы утверждали вразделе 2, последовательная модификация общей теории относительности требует ковариантной формулировки уравнений поля в общем случае, то есть с учетом неоднородностей и анизотропии. Недостаточно предложить специальные модификации уравнения Фридмана в виде

Формула 405-30

для некоторых функций f или g. Помимо фундаментальных проблем, описанных в разделе 2, такое соотношение позволяет нам вычислить соотношение расстояния до сверхновой и красного смещения с помощью этого уравнения. Но мы не можем вычислить возмущения плотности, не зная ковариантной родительской теории, которая приводит к модифицированному уравнению Фридмана. И мы также не можем вычислить будущее Солнечной системы.

Очень трудно получить инфракрасные поправки к общей теории относительности, удовлетворяющие всем минимальным требованиям:

  • Теоретическая согласованность в смысле, обсуждаемом в разделе 2.
  • Позднее ускорение, согласованное с данными по сверхновым.
  • Время с преобладанием материи с эволюцией масштабного фактора А, которая согласуется с требованиями формирования структур.
  • Возмущения плотности, которые согласуются с наблюдаемым спектром мощности материи, анизотропией МВФ и спектром мощности слабого линзирования.
  • Стабильные статические сферические решения для звезд и вакуума и согласованность с ограничениями наблюдений на Земле и в Солнечной системе.
  • Согласованность с данными о периоде бинарных пульсаров.

4.1 Скалярно-тензорные теории

Общая теория относительности Эйнштейна имеет уникальный статус теории, в которой гравитация опосредуется безмассовой частицей со спином 2, а уравнения поля имеют второй порядок. Если мы введем модификации действия Эйнштейна-Гильберта общего вида

формула 405-31

тогда уравнения поля становятся уравнениями четвертого порядка, и гравитация переносится также безмассовыми полями спин-0 и спин-1. Чтобы избежать неустойчивости Остроградского, о которой говорилось в разделе 2, мы налагаем f = f (R), и полагаем f "(R) = 0. Однако оказывается, что этому упрощенному классу модифицированных теорий чрезвычайно трудно пройти наблюдательную и теоретическую проверку. Примером может служить [39]

формула 405-32

Для Формула 405-32-1 эта модель достигает ускорения в поздние времена, когда начинает доминировать член μ/R. Однако модель страдает от нелинейных неустойчивостей материи и нарушения ограничений Солнечной системы [40].

Для обхода этих проблем были введены вариации теорий f (R) [41]. Они основаны на механизме "хамелеона" для изменения модификации общей теории относительности на границе между массивным телом и внешним вакуумом. Хотя такие механизмы могут быть успешными, модели выглядят все более неестественными и надуманными - и страдают от очень сильной тонкой настройки.

Все теории f (R) приводят только к одному уравнению четвертого порядка [21]. Соответствующая дополнительная степень свободы может быть интерпретирована как скалярное поле, и в этом смысле теории f (R) математически эквивалентны скалярно-тензорным теориям через

Формулы 405-33-34

Этот лагранжиан может быть конформно преобразован в обычную гравитацию со скалярным полем, в модель квинтэссенции, с помощью преобразования (35)

Формула 405-35

В терминах g̃ μν и φ лагранжиан становится стандартным лагранжианом скалярного поля,

Формула 405-36

где

Формула 405-37

Этот пример показывает, что модификация гравитации (темная гравитация) или модификация тензора импульса энергии (темная энергия) могут рассматриваться как различные описания одной и той же физики.

Только связь скалярного поля φ с обычной материей показывает, что эта теория происходит от скалярно-тензорной теории гравитации - и эта нестандартная связь отражает тот факт, что гравитация также опосредована спин-0 степенью свободы, в отличие от общей относительности со стандартным скалярным полем.

Более общие скалярно-тензорные теории [42], которые могут быть мотивированы через

Формула 405-38

где ψ - поле со спином 0, дополняющее гравитон со спином 2.

В контексте ускорения позднего времени эти модели также известны как "расширенная квинтэссенция". Скалярно-тензорные теории содержат две функции, F и U. Эта дополнительная свобода позволяет более гибко подходить к наблюдательным и теоретическим ограничениям.

Однако ценой за это является дополнительная сложность - теории f (R) имеют одну произвольную функцию, а здесь их две, F(0) и U(-0). Предпочтительного выбора этих функций из фундаментальной теории не существует.

В целом, модификации действия Эйнштейна-Гильберта, которые приводят к полевым уравнениям четвертого порядка, либо не удовлетворяют минимальным требованиям в простейших случаях, либо содержат больше сложностей и произвольного выбора, чем модели квинтэссенции в общей относительности. Поэтому ни одна из этих моделей не является серьезным конкурентом квинтэссенции в общей теории относительности.

4.2 Модели струнного мира

Теперь мы обратимся к классу моделей струнного мира, фон которых не сложнее, чем у LCDM, и которые обещают стать серьезным соперником темной гравитации. Однако здесь есть скрытые сложности и проблемы, которые мы объясним ниже.

Инфакрасная модификация общей теории относительности может возникнуть в рамках квантовой гравитации, в дополнение к ультрафиолетовой модификации, которая должна возникнуть при высоких энергиях в очень ранней Вселенной.

По всей видимости, теория струн, способна устранить бесконечности квантовой теории поля и объединить фундаментальные взаимодействия, включая гравитацию.

Но за это приходится платить - теория непротиворечива только в 9 измерениях пространства.

Браны - это протяженные объекты более высокой размерности, чем струны, и играют фундаментальную роль в теории, особенно D-браны, на которых могут заканчиваться открытые струны.

Грубо говоря, конечные точки открытых струн, которые описывают частицы стандартной модели, такие, как фермионы и калибровочные бозоны, прикреплены к бранам, в то время как закрытые струны гравитационного сектора могут свободно перемещаться в более высокоразмерном "объемном" пространстве-времени. Классически это реализуется через локализацию материи и полей излучения на бране, при этом гравитация распространяется в объемном пространстве (см. рис. 4).

Вселенная теории струн

Реализация теории струн в космологии чрезвычайно трудна, учитывая сложность теории. Это мотивирует развитие феноменологии, как посредника между наблюдениями и фундаментальной теорией. (Действительно, развитие инфляционной космологии было очень ценным упражнением в феноменологии). Космологические модели струнного мира унаследовали ключевые аспекты теории струн, но не пытаются навязать полный механизм теории. Вместо этого вводятся упрощения, чтобы иметь возможность построить космологические модели, которые можно использовать для вычисления наблюдательных предсказаний (обзоры в этом духе см. в [44]).

Космологические данные затем могут быть использованы для ограничения моделей струнного мираа также в качестве указателей для дальнейшего развития теории струн.

Оказывается, что даже простейшие модели брановых миров удивительно богаты - и вычисление их космологических возмущений является сложным и все еще неполным. Ключевой причиной этого является то, что гравитон более высокой размерности порождает башню из четырехмерных массивных спин-2 мод на бране, в дополнение к стандартной безмассовой спин-2 моде на бране (или, в некоторых случаях, вместо безмассовой моды). В случае некоторых моделей браны дополнительно существуют как динамические безмассовые грави-скаляры и грави-векторы.

В большинстве моделей брановых миров общая относительность модифицируется при высоких энергиях. Основными примерами являются модели типа Рэндалла-Сундрума (РС) [47], где FRW-брана встроена в анти-де Ситтеровский объем с радиусом кривизны l.

При низких энергиях Hl ≪ 1, нулевая мода гравитона доминирует на бране, и общая относительность восстанавливается в хорошем приближении.

При высоких энергиях, малых масштабах, Hl >> 1, массивные моды гравитона доминируют над нулевой модой, и гравитация на бране ведет себя все более пятимерно.

На бране действует стандартное уравнение сохранения,(39)

Формула 405-39

но уравнение Фридмана модифицируется ультрафиолетовой поправкой:

Формула 405-40

Член ρ 2 является ультрафиолетовой поправкой. При низких энергиях этот член пренебрежимо мал, и мы получаем H 2 ∝ ρ + Λ/8πG. При высоких энергиях гравитация "утекает" с браны, и H 2 ∝ ρ 2. Такое поведение 5D означает, что при заданной плотности энергии скорость расширения больше, чем в общей теории относительности. Как следствие, инфляция в ранней Вселенной изменяется интересным образом [44].

В свою очередь, модель двойного мира Двали-Габададзе-Поррати [45] (DGP), которая была обобщена на космологию Деффайе [46], изменяет общую относительность в поздние времена. Эта модель приводит к "самоускорению" низкоэнергетической Вселенной из-за ослабления гравитации.

Как и модель RS, модель DGP является 5-мерной моделью с бесконечным дополнительным измерением. (Мы фактически предполагаем, что 5 дополнительных измерений в "родительской" теории струн можно игнорировать при низких энергиях).

Формула 405-41

Предполагается, что объем является пятимерным пространством Минковского. В отличие от AdS-объема модели RS, объем Минковского имеет бесконечный объем. Следовательно, не существует нормализуемого нулевого режима (объемного) гравитона в брановом мире DGP.

Гравитация просачивается с четырехмерной браны в объемный мир на больших масштабах, λ > r c, где доминирует первый член в сумме (41).

На малых масштабах гравитация эффективно связана с браной, и четырехмерная динамика восстанавливается с хорошим приближением, поскольку доминирует второй член. Переход от 4- к 5-мерному поведению регулируется масштабом перехода rc; гравитационный потенциал слабого поля ведет себя как

Формула 405-42

Утечка гравитации в поздние времена инициирует ускорение - не из-за отрицательного поля давления, а из-за ослабления гравитации на бране. Четырехмерная гравитация восстанавливается при высоких энергиях через самые легкие массивные моды пятимерного гравитона, эффективно через сверхлегкий метастабильный гравитон.

Уравнение сохранения энергии остается таким же, как и в общей теории относительности, но уравнение Фридмана модифицируется:

Формулы 43-44

Модель Вселенной согласно теории струн

Иначе говоря, в ранние времена, при Hr c ≫ 1, общее релятивистское уравнение Фридмана восстанавливается. Напротив, в поздние времена в МЧР-вселенной, при Формула 44-1, имеем:

Формула 405-45

чтобы расширение ускорялось и было асимптотически де Ситтером. Поскольку H 0 > H ∞ , для достижения самоускорения в поздние времена нам необходимо:

Формула 405-46

и это подтверждается подгонкой наблюдений сверхновых, как показано на рис. 5. Безразмерный параметр перекрестного перехода:

Формулы 405-47

и отношение LCDM,

Формула 405-48

модифицирован на:

Формула 405-49

LCDM и DGP могут объяснить наблюдения сверхновых со значениями тонкой настройки Формула 405-49-1 и Формула 405-49-2 соответственно. Вырождение может быть нарушено наблюдениями, основанными на образовании структур, поскольку обе модели по-разному подавляют рост возмущений плотности [49].

Наблюдения на основе расстояний опираются только на фоновое четырехмерное уравнение Фридмана (44) в моделях DGP - и поэтому существуют модели квинтэссенции в общей относительности, которые дают точно такие же расстояния до сверхновых, как и DGP [50].

Напротив, наблюдения за образованием структур требуют пятимерных возмущений в DGP, и нельзя найти эквивалентные модели квинтэссенции [51]. (Однако четырехмерные модели общей относительности, допускающие анизотропные напряжения, в принципе могут имитировать DGP [53]).

Сравнение двух теорий: LDCM DGP

Для LCDM анализ возмущений плотности хорошо изучен. Для DGP он гораздо более тонкий и сложный. Это обсуждается в работе [19]. Хотя материя ограничена четырехмерной браной, гравитация в основе своей пятимерна, и объемное гравитационное поле реагирует на возмущения плотности и обратно. Эволюция возмущений плотности требует анализа, основанного на пятимерной природе гравитации. В частности, пятимерное гравитационное поле создает анизотропное напряжение в четырехмерной Вселенной. Если пренебречь этим напряжением и всеми 5D эффектами и просто рассматривать возмущения как 4D возмущения с модифицированной фоновой скоростью Хаббла - то, как следствие, нарушается 4D тождество Бианки на бране, т.е.Формула 405-49-5, и результаты оказываются противоречивыми.

При включении 5D эффектов [51,52] выполняется 4D тождество Бианки. Согласованное модифицированное уравнение эволюции для возмущений плотности на субпузырьковых масштабах имеет вид:

Формула 405-50

где член в скобках отражает поправку 5D. Линейный коэффициент роста, Формула 405-50-2 , показан на рис. 6.

В дополнение к сложности космологических возмущений, более глубокую проблему создает тот факт, что асимптотическое решение де Ситтера в поздние времена в космологических моделях DGP имеет призрак [54].

Этот призрак в гравитационном секторе более серьезен, чем призрак в призрачном скалярном поле. Фактически именно эта призрачная степень свободы ответственна за ускорение в модели DGP. Тем не менее, изучение DGP в качестве игрушечной модели темной гравитации может быть полезным.

5 Заключение

Доказательства ускорения Вселенной в поздние времена продолжают расти по мере увеличения числа экспериментов и качества данных - темная энергия или темная гравитация становятся неизбежной реальностью.

Это революционное открытие, сделанное наблюдательной космологией, ставит теоретическую космологию перед серьезным кризисом - как объяснить происхождение ускорения. Ядро этой проблемы может быть "передано" физике частиц, поскольку на самом фундаментальном уровне нам требуется объяснение того, почему энергия вакуума либо имеет невероятно малую и тонко настроенную величину, либо равна нулю. Оба варианта категорически не согласуются с наивными оценками энергии вакуума.

Если принять, что энергия вакуума действительно ненулевая, то темная энергия описывается Λ, то LCDM является лучшей из существующих моделей.

Космологическая модель требует завершения через развитие физики частиц, которая объяснит значение энергии вакуума. Во многих отношениях, это лучшее, что мы можем сделать в настоящее время, поскольку альтернативы LCDM, в рамках и за пределами общей относительности, не разрешают кризис энергии вакуума и, кроме того, не имеют убедительной теоретической мотивации. Ни один из претендентов не выглядит лучше, чем LCDM.

В настоящее время, возможно, самым простым и привлекательным претендентом является модель DGP с брановым миром. Однако простота уравнения Фридмана обманчива, а сложность ее космологических возмущений включает проблему призрачности.

На теоретическом уровне пока нет серьезного соперника для LCDM. По-прежнему стоит продолжать исследовать альтернативные модели темной энергии и темной гравитации, чтобы лучше понять пространство возможностей, разнообразие космологических свойств и наблюдательные стратегии, необходимые для их различения.

В то же время, в принципе, возможно, что космологические наблюдения, обнаружив темную энергию/темную гравитацию, могли бы исключить LCDM, показав, с некоторым приемлемым уровнем статистической достоверности, что Формула 405-50-1.

Наконец, теоретический кризис имеет не только негативные последствия: темная энергия/темная гравитация в космосе бросает захватывающие вызовы теории и наблюдениям.

Ссылки

1. See, e.g., D. N. Spergel et al. [WMAP Collaboration], “Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) three year results: Implications for cosmology,”Astrophys. J. 657, 645 (2007) [arXiv:astro-ph/0603449]; W. J. Percival et al., “The shape of the SDSS DR5 galaxy power spectrum,” Astrophys. J. 665, 377 (2007) [arXiv:astro-ph/0608636].

2. S. H. Henry Tye, “Brane inflation: String theory viewed from the cosmos,” arXiv:hep-th/0610221; R. Kallosh, “On inflation in string theory,” arXiv:hep-th/0702059; A. Ashtekar, T. Pawlowski and P. Singh, “Quantum nature of the big bang: Improved dynamics,” Phys. Rev. D 74, 084003 (2006) [arXiv:gr-qc/0607039]; M. Bojowald, “Loop quantum cosmology,” Living Rev. Rel. 8, 11 (2005) [arXiv:gr-qc/0601085]; J. K. Erickson, S. Gratton, P. J. Steinhardt and N. Turok, “Cosmic perturbations through the cyclicages,” arXiv:hep-th/0607164; R. H. Brandenberger, “String gas cosmology and structure formation: A brief review,” arXiv:hep-th/0702001.

3. See, e.g., E. J. Copeland, M. Sami and S. Tsujikawa, “Dynamics of dark energy,” Int. J. Mod. Phys. D 15, 1753 (2006) [arXiv:hep-th/0603057]; L. Perivolaropoulos, “Accelerating universe: Observational status and theoretical implications,” arXiv:astro-ph/0601014;
S. Nojiri and S. D. Odintsov, “Introduction to modified gravity and gravitational alternative for dark energy,” Int. J. Geom. Meth. Math. Phys. 4, 115 (2007) [arXiv:hep-th/0601213]; T. Padmanabhan, “Dark Energy: Mystery of the Millennium,” AIP Conf. Proc. 861, 179 (2006) [arXiv:astro-ph/0603114]; N. Straumann, “Dark energy: Recent developments,” Mod. Phys. Lett. A 21, 1083 (2006) [arXiv:hep-ph/0604231]; S. Bludman, “Cosmological acceleration: Dark energy or modified gravity?,” arXiv:astro-ph/0605198; P. Uzan, “The acceleration of the universe and the physics behind it,” arXiv:astro-ph/0605313; D. Polarski, “Dark energy: Beyond general relativity?,” AIP Conf. Proc. 861, 1013 (2006) [arXiv:astro-ph/0605532]; R. Ruiz-Lapuente, “Dark energy, gravitation and supernovae,” Class. Quant. Grav. 24, R91 (2007)[arXiv:0704.1058].

4. K. Enqvist, this volume.

5. J. Goodman “Geocentrism reexamined”, Phys. Rev. D52, 1821 (1995) [arXiv:astro-ph/9506068].

6. G. F. R. Ellis and R. Maartens, “The emergent universe: Inflationary cosmology with no singularity,” Class. Quant. Grav. 21, 223 (2004) [arXiv:gr-qc/0211082].

7. R. Hlozek, M. Cortes, B. A. Bassett and C. Clarkson, this volume.

8. R. A. Knop et al. [The Supernova Cosmology Project Collaboration], “New Constraints on Ω M , Ω Λ , and w from an Independent Set of Eleven High-Redshift Supernovae Observed with HST,” Astrophys. J. 598, 102 (2003) [arXiv:astro-ph/0309368].

9. W. M. Wood-Vasey et al., “Observational Constraints on the Nature of the Dark Energy: First Cosmological Results from the ESSENCE Supernova Survey,” arXiv:astro-ph/0701041.

10. B. Leibundgut, this volume.

11. R. Nichol, this volume.

12. S. Sarkar, this volume.

13. G. Bressi, G. Carugno, R. Onofrio, and G. Ruoso, ”Measurement of the Casimir force between Parallel Metallic Surfaces”, Phys. Rev. Lett. 88, 041804 (2002); M. Bordag, U. Mohideen, and V. M. Mostepanenko, ”New Developments in the Casimir Effect”, Phys. Rept. 353, 1 (2001) [arXiv:quant-ph/0106045].

14. T. Padmanabhan, this volume

15. R. Bousso, this volume.

16. E. Linder, this volume.

17. T. Buchert, this volume.

18. S. Capozziello and M. Francaviglia, this volume.

19. K. Koyama, this volume.

20. M. Ostrogradski, Memoire Academie St. Petersbourg, Ser. VI 4, 385 (1850).

21. R. P. Woodard,“Avoiding Dark Energy with 1/R Modifications of Gravity” (2006) [arXiv:astro-ph/0601672].

22. C. Bonvin, C. Caprini and R. Durrer (2007) [arXiv:0706.1538].

23. G. Velo and D. Zwanzinger, “Propagation and Quantization of Rarita-Schwinger Waves in an External Electromagnetic Potential”, Phys. Rev. 186, 1337 (1969); G. Velo and D. Zwanzinger, “Noncausality and Other Defects of Interaction Lagrangians for Particles with Spin One and Higher”, Phys. Rev. 188, 2218 (1969).

24. M. S. Morris, K. S. Thorne and U. Yurtsever, “Wormholes, Time Machines and the Weak Energy Condition”, Phys. Rev. Lett. 61, 1446 (1988).

25. J. R. Gott, “Closed timelike curves produced by pairs of moving cosmic strings: Exact solutions”, Phys. Rev. Lett. 66, 1126 (1991).

26. A. Ori, “Formation of closed timelike curves in a composite vacuum/dust asymptotically-flat spacetime”, Phys. Rev. D76, 044002 (2007) [arXiv:gr-qc/0701024].

27. W. B. Bonnor B. R. Steadman, “Exact solutions of the Einstein-Maxwell equations with closed timelike curves”, Gen. Rel. Grav. 37, 1833 (2005).

28. E. Babichev, V. Mukhanov and A. Vikman, “k-essence, superluminal propagation, causality and emergent geometry” (2007) [arXiv:0708.0561].

29. M. Froissart, “Asymptotic Behavior and Subtractions in the Mandelstam Representation”, Phys. Rev. 123, 1053 (1961); For an overview see, C. Itzykson and J. B. Zuber, Quantum Field Theory, Chapter 5, McGraw Hill, New York (1980).

30. A. Adams, N. Arkani-Hamed, S. Dubovsky, A. Nicolis, and R. Rattazzi, “Causality, Analyticity and an IR Obstruction to UV Completion”, JHEP 0610, 014 (2006) [arXiv:hep-th/0602178].

31. J. Polchinski, “The cosmological constant and the string landscape,” arXiv:hep-th/0603249; R. Bousso, “Precision cosmology and the landscape,” arXiv:hep-th/0610211.

32. T. Padmanabhan, “Why does gravity ignore the vacuum energy?,” Int. J. Mod. Phys. D 15, 2029 (2006) [arXiv:gr-qc/0609012].

33. L. Amendola, G. C. Campos, R. Rosenfeld, “Consequences of dark matter-dark energy interaction on cosmological parameters derived from SNIa data” (2006) [arXiv:astro-ph/0610806].

34. Z.K. Guo, N. Ohta and S. Tsujikawa, “Probing the Coupling between Dark Components of the Universe”, Phys. Rev. D 76, 023508 (2007) [arXiv:astro-ph/0702015].

35. C. Armendariz-Picon, V. Mukhanov and P.J. Steinhardt, “Dynamical Solution to the Problem of a Small Cosmological Constant and Late-Time Cosmic Acceleration”, Phys. Rev. Lett. 85 4438 (2000) [arXiv:astro-ph/0004134 ].

36. C. Bonvin, C. Caprini and R. Durrer, “A no-go theorem for k-essence dark energy,” Phys. Rev. Lett. 97, 081303 (2006) [arXiv:astro-ph/0606584]; G. Ellis, R. Maartens and M. MacCallum, “Causality and the speed of sound,” arXiv:gr-qc/0703121.

37. M. Kunz, “The dark degeneracy: On the number and nature of dark components” (2007) [arXiv:astro-ph/0702615].

38. See, e.g.,E. W. Kolb, S. Matarrese, A. Notari and A. Riotto, “Primordial inflation explains why the universe is accelerating today,”  arXiv:hep-th/0503117; G. Geshnizjani, D. J. H. Chung and N. Afshordi, “Do large-scale inhomogeneities explain away dark energy?,” Phys. Rev. D 72, 023517 (2005) [arXiv:astro-ph/0503553]; C. M. Hirata and U. Seljak, “Can superhorizon cosmological perturbations explain the acceleration of the universe?,” Phys. Rev. D 72, 083501 (2005) [arXiv:astro-ph/0503582]; E. E. Flanagan, “Can superhorizon perturbations drive the acceleration of the universe?,” Phys. Rev. D 71, 103521 (2005) [arXiv:hep-th/0503202]; S. Rasanen, “Backreaction and spatial curvature in a dust universe,” Class. Quant. Grav. 23, 1823 (2006) [arXiv:astro-ph/0504005]; A. A. Coley, N. Pelavas and R. M. Zalaletdinov, “Cosmological solutions in macroscopic gravity,” Phys. Rev. Lett. 95, 151102 (2005) [arXiv:gr-qc/0504115]; H. Alnes, M. Amarzguioui and O. Gron, “Can a dust dominated universe have accelerated expansion?,” JCAP 0701, 007 (2007) [arXiv:astro-ph/0506449]; M. Giovannini, “Gradient expansion(s) and dark energy,” JCAP 0509, 009 (2005) [arXiv:astro-ph/0506715]; Y. Nambu and M. Tanimoto, “Accelerating universe via spatial averaging,” arXiv:gr-qc/0507057; A. Ishibashi and R. M. Wald, “Can the acceleration of our universe be explained by the effects of21 inhomogeneities?,” Class. Quant. Grav. 23, 235 (2006) [arXiv:gr-qc/0509108]; T. Buchert, “On globally static and stationary cosmologies with or without a cosmological constant and the dark energy problem,” Class. Quant. Grav. 23, 817 (2006) [arXiv:grqc/0509124]; P. Martineau and R. Brandenberger, “Back-reaction: A cosmological panacea,” arXiv:astro-ph/0510523; R. Mansouri, “Illuminating the dark ages of the universe: The exact backreaction in the SFRW model and the acceleration of the universe,” arXiv:astro-ph/0601699; R. A. Vanderveld, E. E. Flanagan and I. Wasserman, “Mimicking Dark Energy with Lemaitre-Tolman-Bondi Models: Weak Central Singularities and Critical Points,” Phys. Rev. D 74, 023506 (2006) [arXiv:astro-ph/0602476]; J. W. Moffat, “Late-time inhomogeneity and the acceleration of the universe,” arXiv:astro-ph/0603777; A. Paranjape and T. P. Singh, “The Possibility of Cosmic Acceleration via Spatial Averaging in Lemaitre-Tolman-Bondi Models,” Class. Quant. Grav. 23, 6955 (2006) [arXiv:astro-ph/0605195].

39. S. Capozziello, S. Carloni and A. Troisi, “Quintessence without scalar fields,” arXiv:astro-ph/0303041.

40. See, e.g., L. Amendola, R. Gannouji, D. Polarski and S. Tsujikawa, “Conditions for the cosmological viability of f (R) dark energy models,” Phys. Rev. D75, 083504 (2007) [arXiv:gr-qc/0612180]; T. Chiba, T. L. Smith and A. L. Erickcek, “Solar System constraints to general f(R) gravity,” Phys. Rev. D75, 124014 (2007) [arXiv:astro-ph/0611867]; A. D. Dolgov and M. Kawasaki, “Can modified gravity explain accelerated cosmic expansion?,” Phys. Lett.B 573, 1 (2003) [arXiv:astro-ph/0307285].

41. W. Hu and I. Sawicki, “Models of f (R) Cosmic Acceleration that Evade Solar-System Tests” (2007) [arXiv:0705.1158v1]; A. A. Starobinsky, “Disappearing cosmological constant in f(R) gravity”, JETP Lett., 86, 157 (2007) [arXiv:0706.2041v2]. S. Nojiri and S.D. Odintsov, “Unifying inflation with LambdaCDM epoch in modified f(R) gravity consistent with Solar System tests”, Phys. Lett. B 657, 238 (2007) [arXiv:0707.1941]

42. B. Boisseau, G. Esposito-Farese, D. Polarski and A. A. Starobinsky, “Reconstruction of a scalar-tensor theory of gravity in an accelerating universe,” Phys. Rev. Lett. 85, 2236 (2000) [arXiv:gr-qc/0001066]; A. Riazuelo and J. P. Uzan, “Cosmological observations in scalar-tensor quintessence,” Phys. Rev. D 66, 023525 (2002) [arXiv:astro-ph/0107386]; G. Esposito-Farese, “Tests of scalar-tensor gravity,” AIP Conf. Proc. 736, 35 (2004) [arXiv:gr-qc/0409081]; S. Nesseris and L. Perivolaropoulos, “The limits of extended quintessence,” Phys. Rev. D 75, 023517 (2007) [arXiv:astro-ph/0611238].

43. M. Cavaglia, “Black hole and brane production in TeV gravity: A review,” Int. J. Mod. Phys. A 18, 1843
(2003) [arXiv:hep-ph/0210296].

44. R. Maartens, “Brane-world gravity,” Living Rev. Rel. 7, 7 (2004) [arXiv:gr-qc/0312059]; P. Brax, C. van de Bruck and A. C. Davis, “Brane world cosmology,” Rept. Prog. Phys. 67, 2183 (2004) [arXiv:hep-th/0404011]; V. Sahni, “Cosmological surprises from braneworld models of dark energy,” arXiv:astro-ph/0502032; R. Durrer, “Braneworlds,” AIP Conf. Proc. 782, 202 (2005) [arXiv:hep-th/0507006]; D. Langlois, “Is our universe brany?,” Prog. Theor. Phys. Suppl. 163, 258 (2006) [arXiv:hep-th/0509231]; A. Lue, “The phenomenology of Dvali-Gabadadze-Porrati cosmologies,” Phys. Rept. 423, 1 (2006) [arXiv:astro-ph/0510068]; D. Wands, “Brane-world cosmology,” arXiv:gr-qc/0601078.

45. G. R. Dvali, G. Gabadadze and M. Porrati, “Metastable gravitons and infinite volume extra dimensions,” Phys. Lett. B 484, 112 (2000) [arXiv:hep-th/0002190].

46. C. Deffayet, “Cosmology on a brane in Minkowski bulk,” Phys. Lett. B 502, 199 (2001) [arXiv:hep-th/0010186].

47. L. Randall and R. Sundrum, “An alternative to compactification,” Phys. Rev. Lett. 83, 4690 (1999) [arXiv:hep-th/9906064]; P. Binetruy, C. Deffayet, U. Ellwanger and D. Langlois, “Brane cosmological evolution in a bulk with cosmological constant,” Phys. Lett. B 477, 285 (2000) [arXiv:hep-th/9910219].

48. R. Maartens and E. Majerotto, “Observational constraints on self-accelerating cosmology,” Phys. Rev. D 74, 023004 (2006) [arXiv:astroph/0603353].

49. A. Lue, R. Scoccimarro and G. D. Starkman, “Probing Newton’s constant on vast scales: DGP gravity, cosmic acceleration and large scale structure,” Phys. Rev. D 69, 124015 (2004) [arXiv:astro-ph/0401515]; A. Lue and G. Starkman, “Gravitational leakage into extra dimensions: Probing dark energy using local gravity,” Phys. Rev. D 67, 064002 (2003) [arXiv:astro-ph/0212083].

50. E. V. Linder, “Cosmic growth history and expansion history,” Phys. Rev. D 72, 043529 (2005) [arXiv:astro-ph/0507263].

51. K. Koyama and R. Maartens, “Structure formation in the DGP cosmological model,” JCAP 0610, 016 (2006) [arXiv:astro-ph/0511634].

52. A. Cardoso, K. Koyama, S.S. Seahra and F.P. Silva, “Cosmological perturbations in the DGP braneworld: numeric solution”, arXiv:0711.2563.

53. M. Kunz and D. Sapone, “Dark Energy versus Modified Gravity”, Phys. Rev. Lett. 98, 121301 (2007) [aXiv:astro-ph/0612452].

54. D. Gorbunov, K. Koyama and S. Sibiryakov, “More on ghosts in DGP model,” Phys. Rev. D73, 044016 (2006) [arXiv:hep-th/0512097].

Дата: 2021-09-22

Автор: Рут Дюррер, Рой Мертенс

Поделиться с друзьями: