Главная Физика Американский физик переписал квантовую теорию поля

Аналог дзета-функции Римана и квантовая теория поля

Такие числа, как пи, е и фи, часто используются в научных статьях, особенно в физике и математике. Треугольник Паскаля и последовательность Фибоначчи также кажутся необъяснимо распространенными в природе, пишет Альтернативная наука.

А еще есть дзета-функция Римана, обманчиво простая функция, которая озадачивает математиков с 19 века.

Пожалуй, она является наиболее «странным» вопросом в математике. Напомним, Математический институт Клэя предлагает приз в 1 миллион долларов за правильное доказательство этой гипотезы.

Однако физик из Университета Санта-Барбары Грант Реммен заявил, что у него есть новый подход к изучению причуд дзета-функции. Он нашел аналог, который переводит многие важные свойства функции в квантовую теорию поля.

Это означает, что исследователи теперь могут воспользоваться инструментами физики для изучения вездесущей дзета-функции. Его работа может даже привести к доказательству гипотезы Римана. Реммен изложил свой подход в журнале Physical Review Letters.

Квантовая теория поля сквозь призму дзета-функции Римана

Реммен обычно не работает над решением самых больших вопросов в математике. Он - физик. Будучи постдокторантом в Университете Санта-Барбары, основное время он уделяет таким фундаментальным темам, как физика частиц, квантовая гравитация, теория струн и черные дыры.

Одна из его специализаций - квантовая теория поля, которую он называет "триумфом физики 20-го века".

Большинство людей слышали о квантовой механике (субатомные частицы, неопределенность и т.д.) и специальной теории относительности (замедление времени, E=mc2 и т.д.). Но объединить обе теории пока не удается. Ученый надеется, что такой интегрирующей моделью станет квантовая теория поля (КТП).

Что такое квантовая теория поля?

По его мнению, КТП - это не совсем единая теория. Это скорее набор инструментов, которые ученые могут использовать для описания любого набора взаимодействий, в том числе частиц.

Реммен утверждает, что одно из понятий КТП имеет много общих черт с дзета-функцией Римана. Речь идет об амплитуде рассеяния; она кодирует квантовомеханическую вероятность того, что частицы будут взаимодействовать друг с другом.

Амплитуды рассеяния хорошо работают с комплексными числами. Эти числа состоят из действительной и мнимой части - кратной √-1, которую математики называют i. Амплитуды рассеяния обладают аналитическими свойствами в комплексной плоскости, например, могут быть выражены в виде ряда вокруг каждой точки, за исключением избранного набора полюсов, которые все лежат вдоль линии.

Что, в свою очередь, напоминает нули дзета-функции Римана, которые также лежат на одной прямой. Однако непонятно, является ли это кажущемся сходством или чем-то реальным.

Полюса амплитуды рассеяния соответствуют физическим событиям - рождению частиц с импульсом. Значение каждого полюса соответствует массе созданной частицы.

Поэтому было необходимо найти функцию, которая ведет себя как амплитуда рассеяния и полюса, соответствующие нетривиальным нулям дзета-функции.

Обманчивая простота дзета-функции

Вооружившись ручкой, бумагой и компьютером для проверки результатов, Реммен приступил к работе над созданием функции, обладающей всеми необходимыми свойствами. Идея состоит в связывании дзета-функции Римана с амплитудами.

По своей сути, дзета-функция обобщает гармонический ряд, который раздувается до бесконечности при x ≤ 1, но сходится к действительному числу при каждом x > 1.

В 1859 году Бернхард Риман захотел рассмотреть, что произойдет, если x будет комплексным числом. Функция, которая теперь носит его имя, принимает одно комплексное число и выдает другое.

Благодаря теореме из комплексного анализа, математики знают, что существует только одна формулировка, приемлемая для свойств исходной функции. К сожалению, никто не смог представить ее в форме с конечным числом членов, что является частью тайны, окружающей эту функцию.

Амплитуда рассеяния и теория Реммена

Амплитуда рассеяния, которую нашел Реммен, описывает две безмассовые частицы, взаимодействующие путем обмена бесконечным набором массивных частиц, по одной за раз. Функция имеет полюс - точку, где не может быть выражена в виде ряда - соответственно массе каждой промежуточной частицы. Бесконечные полюса совпадают с нетривиальными нулями дзета-функции Римана.

Грант Ремен, физик, Калифорния

То, что построил Реммен, является ведущей компонентой взаимодействия. Существует бесконечно много таких компонентов, каждый из которых учитывает все меньшие и меньшие аспекты взаимодействия, описывая процессы, включающие обмен несколькими массивными частицами одновременно. Эти "амплитуды на уровне петель" станут предметом будущей работы.

Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную компоненту ½. Переведем это в модель Реммена:

все полюса амплитуды - вещественные числа.

Это означает, что если кто-то сможет доказать, что его функция описывает последовательную КТП, а именно, такую, где массы являются действительными, а не мнимыми числами, то гипотеза Римана будет доказана.

Эта формулировка переносит гипотезу Римана в еще одну область науки, например, в неинтуитивные математические тождества, связанные с дзета-функцией.

Теория Реммена следует традиции другого физика, Габриэле Венециано. Последний в 1968 году интерпретировать бета-функцию Эйлера как амплитуду рассеяния. Именно это математического решение заложило основы теории струн.

По материалам Университета Санта-Барбары, Калифорния