Главная Физика Физики о квантовой теории: «Мы не знаем, как все сложить и получить что-то разумное»

Квантовая теория поля между физиками и математиками

В прошлом веке квантовая теория поля казалась наиболее масштабной и успешной физической теорией. Она напоминала зонтик, охватывающий большинство теорий поля. Наиболее известный пример - Стандартная модель, раскрученная в научном сообществе в 50-60-х годах прошлого века.

Квантовая теория поля

"На фундаментальном уровне она способна пояснить буквально каждый эксперимент, который мы когда-либо проводили", - говорит Дэвид Тонг, физик из Кембриджского университета.

Но квантовая теория поля, бесспорно, неполна. Ни физики, ни математики не знают, что именно делает КТП квантовой теорией поля. У них есть проблески полной картины, но ученые пока не могут в них разобраться.

"Существуют различные признаки того, что такое КТП", - говорит Натан Сейберг, физик из Института перспективных исследований. - Такое ощущение, что это животное, которое можно потрогать со многих сторон, но вы не увидите его целиком".

Математика превращает любую гипотезу в научную теорию. Если математика научится описывать квантовую теорию с той же строгостью, с которой она характеризует хорошо известные математические объекты, то мы столкнемся с более полной картиной физического мира.

Каждая физическая идея имеет свое естественное место в математике. Это относится и к квантовой теории поля.

Теперь исследователи намерены математически определить, взяв идеи, объекты и методы, которые физики разработали для изучения фундаментальных частиц, и включили их в основной корпус математики. Это означает создание универсальной математической модели, чтобы будущим математикам не пришлось думать о физическом контексте самой теории.

Что такое квантовая теория поля?

Вознаграждение ожидается большим: математика развивается, когда находит новые объекты для исследования и новые структуры, отражающие наиболее важные отношения между числами, уравнениями и формами.

"Сама физика, как структура, чрезвычайно глубока и часто является лучшим способом думать о математических вещах, которые нас уже интересуют. Это просто лучший способ организовать их", - говорит американский математик Дэвид Бен-Цви.

В течение 40 лет КТП искушала нереализованными идеями. В последние годы появилась возможность описывать сущности, абстрагируя их от мира физики частиц в самостоятельные математические объекты.

"Мы ничего не узнаем, пока не доберемся до цели, но я ожидаю, что мы видим только верхушку айсберга", - говорит физик Грег Мур.

Поля навсегда

Принято считать, что Вселенная построена из фундаментальных частиц: электронов, кварков, фотонов и тому подобного. Но физика уже давно отошли от этого представления. Вместо частиц бытуют "квантовые поля", воспринимаемые более реалистично, нежели «обычные» частицы.

Что такое квантовое поле?

Эти поля простираются через все пространство-время Вселенной. Они имеют множество разновидностей и колеблются подобно бурлящему океану. По мере того, как поля пульсируют и взаимодействуют друг с другом, из них появляются частицы, а затем снова исчезают, как мимолетные гребни волны.

"Частицы - это не объекты, которые существуют вечно, - говорит Тонг. - Это танец полей".

Чтобы понять квантовые поля, проще всего описать классическое поле. Представьте себе измерение температуры в каждой точке земной поверхности. Сочетание бесконечно большого количества точек, в которых можно произвести эти измерения, образует геометрический объект, называемый полем, где собрана вся информация о температуре.

Поля возникают всякий раз, когда есть некая величина, которую можно однозначно измерить с бесконечно малым разрешением.

"Вы как бы можете задавать независимые друг от друга вопросы в каждой точке пространства-времени", - говорит Давиде Гайотто, физик из Института теоретической физики в Ватерлоо, Канада.

Но квантовые поля возникают, когда ведутся наблюдения за квантовыми явлениями, например, за энергией электрона.

В то время как температура в какой-либо точке Земли не зависит от того, измеряете вы ее или нет, электроны не располагаются в конкретном месте до момента наблюдения. Их положение описывается только вероятностно, путем присвоения каждой точке квантового поля значений, отражающих произвольную вероятность того, что электрон находится именно там, где его «поместили». До наблюдения электроны, по сути, нигде не существуют — и одновременно находятся везде.

"Большинство вещей в физике - это не просто объекты; это нечто, что живет в каждой точке пространства и времени", - говорит директор Института перспективных исследований Робберт Дейкграаф.

Квантовая теория поля предполагает набор определенных правил, корреляционных функций, которые объясняют, как измерения в одной точке поля соотносятся с измерениями, сделанными в другой точке.

Каждая КТП описывает физику точного количества измерений:

  • двумерные КТП часто полезны для описания поведения материалов, например, изоляторов;
  • шестимерные квантовые теории особенно важны для теории струн;
  • четырехмерные описывают физику в наблюдаемой вселенной.

Стандартная модель - одна из них; это самая важная квантовая теория поля, потому что именно она лучше всего описывает Вселенную.

Известны 12 фундаментальных частиц, из которых состоит Вселенная. Каждая из них имеет свое уникальное квантовое поле. К этим 12 полям частиц Стандартная модель добавляет четыре силовых поля, представляющих четыре фундаментальные силы: гравитацию, электромагнетизм, сильные ядерные силы и слабые ядерные силы. Она объединяет эти 16 полей в одно уравнение, которое описывает, как они взаимодействуют друг с другом. Благодаря этим взаимодействиям фундаментальные частицы понимаются как флуктуации соответствующих квантовых полей, и перед нашими глазами возникает физический мир.

Это может показаться странным, но в 1930-х годах ученые договорились, что физика, основанная на полях, а не на частицах, разрешает наиболее острые противоречия, начиная с вопросов о причинности и заканчивая предположением, что частицы не живут вечно. Иначе невероятно постоянство в физического мира.

"Все частицы одного типа во Вселенной одинаковы, - говорит Тонг. - Если мы отправимся на Большой адронный коллайдер и создадим только что отчеканенный протон, он будет точно таким же, как и тот, который путешествовал в течение 10 миллиардов лет. Это заслуживает какого-то объяснения".

КТП поясняет, что все протоны - это просто флуктуации одного и того же поля протонов (или, если посмотреть более пристально, основных полей кварков).

Но объяснительная сила КТП обходится в высокую математическую цену.

"Квантовые теории поля - это, безусловно, самые сложные объекты в математике, настолько сложные, что математики не имеют ни малейшего представления о том, как в них разобраться, - поясняет Тонг. - Квантовая теория поля - это математика, которую еще не изобрели математики".

Слишком много бесконечности

Что же делает ее такой сложной для математиков? Одним словом, бесконечность.

Что делает квантовую теорию такой сложной?Когда вы измеряете квантовое поле в точке, результат - это не несколько чисел, таких, как координаты и температура. Однако в целом получается матрица, то есть массив чисел. И не просто матрица, а большая матрица, называемая оператором, с бесконечно большим количеством столбцов и строк. Это отражает то, как квантовое поле охватывает все возможности частицы, выходящие из поля.

"Существует бесконечно много положений, которые может иметь частица, и это приводит к тому, что матрица, описывающая измерение положения, импульса, также должна быть бесконечно размерной", - поясняет Кася Рейзнер из Университета Йорка.

А когда теории производят бесконечности, это ставит под сомнение их физическую релевантность, потому что бесконечность существует как концепция, а не измерения и эксперимент. Это обстоятельство блокирует математическую работу с теориями.

«Нам не нравится иметь рамки, в которых прописана бесконечность. Именно поэтому вы начинаете понимать, что необходимо математическое понимание происходящего", - говорит Алехандра Кастро, физик из Амстердамского университета.

Проблемы с бесконечностью усугубляются, когда физики начинают думать о взаимодействии двух квантовых полей, как, например, при моделировании столкновений частиц на Большом адронном коллайдере. В классической механике такой тип расчетов прост: чтобы смоделировать, что происходит при столкновении двух бильярдных шаров, достаточно использовать числа, определяющие импульс каждого шара в точке столкновения.

Когда два квантовых поля взаимодействуют, аналогия не срабатывает: умножить бесконечно размерный оператор для одного поля на бесконечно размерный оператор для другого поля именно в той точке пространства-времени, где они встречаются, согласитесь, весьма сложно. И не факт, что они встречаются в одной точке, - здесь возникает дополнительный, третий оператор. Такой расчет - умножение двух-трех бесконечно-мерных объектов, которые находятся бесконечно близко друг к другу - фантастичен.

Ошеломительный успех

Физики и математики не могут вычислять, используя бесконечности, но они разработали обходные пути - способы аппроксимации величин, которые позволяют обойти эту проблему. Обходные пути дают приблизительные предсказания, что достаточно хорошо, потому что эксперименты тоже не бесконечно точны.

"Мы можем проводить эксперименты и измерять вещи с точностью до 13 знаков после запятой, и они согласуются со всеми 13 знаками после запятой. Это самая удивительная вещь во всей науке", - говорит Тонг.

Один из вариантов решения проблемы заключается в том, чтобы представить квантовое поле, где ничего не происходит. Такую ситуацию описывает так называемая "свободная" теория, поскольку она свободна от взаимодействий, а потому не нужно беспокоиться об умножении матриц бесконечной размерности, так как ничто не находится в движении и ничто никогда не сталкивается. Такую ситуацию легко описать во всех математических подробностях, хотя само описание не представляет научной ценности.

«Это совершенно скучно, потому что вы описываете единичное поле, которому не с чем взаимодействовать, так что это немножко академическое упражнение», - объясняет Рейзнер. Но его можно сделать более интересным. Физики усиливают взаимодействие, пытаясь сохранить математический контроль над картиной по мере усиления взаимодействия.

Данный подход называется пертурбативной КТП, в том смысле, что допускаются небольшие изменения, или возмущения, в свободном поле. Пертурбативную перспективу можно применять к квантовым теориям поля, которые похожи на свободную теорию. Это также чрезвычайно полезно для проверки экспериментов.

«Вы получаете удивительную точность, удивительную экспериментальную согласованность», - говорит Рейзнер.

Но если продолжать усиливать взаимодействия, то пертурбативный подход в конце концов перегревается. Вместо того, чтобы производить все более точные расчеты, приближенные к реальной физической вселенной, он становится все менее точным. Это говорит о том, что хотя метод возмущений является полезным руководством для экспериментов, в конечном счете, это не тот способ, с помощью которого описывается Вселенная: он практически полезен, но теоретически шаток.

"Мы не знаем, как все сложить и получить что-то разумное", - подчеркивает Гайотто.

Другая схема аппроксимации пытается подкрасться к полноценной квантовой теории поля другим способом. В теории квантовое поле содержит бесконечно тонкую информацию. Чтобы создать такие поля, физики начинают с решетки, или сетки, и ограничивают измерения местами, где линии решетки пересекаются друг с другом. Таким образом, вместо того, чтобы измерять квантовое поле везде, сначала его «оценивают» в отдельных точках на фиксированном расстоянии друг от друга.

Затем ученые повышают разрешение решетки, сближая нити, чтобы создать все более тонкое плетение. По мере того, как оно уплотняется, количество точек, в которых проводятся измерения, увеличивается, приближаясь к идеализированному представлению о поле, в котором проводятся измерения.

"Расстояние между точками становится очень маленьким, и таким образом возникает непрерывное поле", - говорит Зайберг. В математическом значении - предел стягивающейся решетки.

Математики привыкли работать с пределами и знают, как установить, что некоторые из них действительно существуют. Например, они доказали, что предел бесконечной последовательности 12 + 14 +18 +116 ... равен 1. Физики хотели бы доказать, что квантовые поля являются пределом этой решетчатой структуры. Но они не знают, как это сделать.

"Не совсем ясно, как определить предел и что он означает математически", - говорит Мур.

Физики не сомневаются, что стягивающаяся решетка движется к идеализированному понятию квантового поля. Тесное соответствие между предсказаниями КТП и экспериментальными результатами убедительно свидетельствует о том, что это так.

«Нет никаких сомнений в том, что все эти пределы действительно существуют, потому что успех квантовой теории поля был действительно ошеломляющим, - подчеркивает Сейберг. - Но иметь убедительные доказательства того, что что-то верно, и окончательно доказать, что это так, - две разные вещи».

Речь идет о степени неточности, которая не соответствует другим великим физическим теориям, которые КТП стремится превзойти. Законы движения Исаака Ньютона, квантовая механика, теории специальной и общей относительности Альберта Эйнштейна - все они лишь части большой истории, которую хочет рассказать КТП, но она пока не может быть записана в точных математических терминах.

"Квантовая теория поля возникла как универсальный язык физических явлений, хотя и находится в плохой математической форме", - говорит Дейкграаф. И для некоторых физиков это повод поставить паузу в своих теоретических изысканиях.

"Если весь дом держится на основной концепции, которая сама по себе не понятна математически, почему вы так уверены, что она описывает мир? Это вопрос", - рассуждает Дийкграаф.

Геометрия частицы

Даже в незавершенном состоянии КТП спровоцировала ряд важных математических открытий. Общая схема взаимодействия такова: физики, использующие КТП, сталкиваются с удивительными вычислениями, которые затем пытаются объяснить математики.

"Это машина, генерирующая идеи", - уверен Тонг.

На базовом уровне физические явления тесно связаны с геометрией. Можно привести пример: если привести в движение шар на гладкой поверхности, то его траектория покажет кратчайший путь между любыми двумя точками - это свойство известно как геодезия. Таким образом, физические явления могут определять геометрические особенности формы.

Теперь заменим бильярдный шар электроном. Электрон существует вероятностно везде на произвольной поверхности. Изучая квантовое поле, которое фиксирует эти вероятности, можно обследовать саму поверхность, например, выяснить, сколько в ней отверстий. Это фундаментальный вопрос, на который хотят ответить математики, работающие в геометрии и смежной области - топологии.

В конце 1970-х годов физики и математики начали применять данную перспективу для решения основных вопросов геометрии. К началу 1990-х годов Зайберг и его сотрудник Эдвард Виттен поняли, как ее использовать для создания нового математического инструмента - теперь он называется инвариантами Зайберга-Виттена, - который превращает квантовые явления в индекс математических характеристик формы: подсчитайте, сколько раз квантовые частицы ведут себя определенным образом, и вы эффективно подсчитаете количество дыр в форме.

"Виттен показал, что квантовая теория поля дает совершенно неожиданное, но совершенно точное понимание геометрических вопросов, делая неразрешимые проблемы разрешимыми", - поясняет Грэм Сигал, математик из Оксфордского университета.

Другой пример такого обмена произошел в начале 1990-х годов, когда физики проводили расчеты, связанные с теорией струн. «Измерения» проводились в двух разных геометрических пространствах, основанных на принципиально разных математических правилах, но в результате были получены длинные наборы чисел, которые точно соответствовали друг другу. Так появилась совершенно новая область исследований, названная зеркальной симметрией, которая изучает такого рода совпадения.

"Физики делали удивительные предсказания, а математики пытались доказать их нашими собственными средствами, - говорит Бен-Цви. - Предсказания были странными и удивительными, и, как оказалось, они практически всегда были верными".

Но несмотря на то, что КТП успешно генерирует зацепки для математики, ее основные идеи все еще пребывают за пределами математики. Квантовые теории поля не являются объектами, которые математики понимают достаточно хорошо, чтобы использовать их как, например, полиномы, группы, многообразия и другие столпы этой дисциплины.

Для физиков отдаленная связь с математикой является признаком того, что им еще многое нужно понять о теории, которую они породили.

"Каждая другая идея, которая использовалась в физике на протяжении последних столетий, имела свое естественное место в математике, - говорит Зайберг. - С квантовой теорией поля дело обстоит явно иначе".

Математикам кажется, что связь между КТП и математикой должна быть глубже, чем случайное взаимодействие. Это потому, что квантовые теории поля содержат множество симметрий, которые диктуют, как точки в разных частях поля соотносятся друг с другом. Эти симметрии имеют физическое значение - они описывают, как, скажем, во времени сохраняется энергия при эволюции квантовых полей. Но они также являются математически интересными объектами сами по себе.

"Математика может породить определенную симметрию, а мы можем поместить ее в физический контекст. Это создает прекрасный мост между этими двумя областями", - говорит Кастро.

Математики уже используют симметрии и другие приемы геометрии для изучения широкого спектра проблем - от решений различных типов уравнений до распределения простых чисел. Часто геометрия кодирует ответы на вопросы о числах. КТП предлагает математикам новый богатый тип геометрического объекта для игры — и сейчас, по большому счету, неизвестно, сохранится ли физика как «полноценная» наука.

"В какой-то степени мы играем с КТП, - говорит Дэн Фрид, математик из Техасского университета в Остине. - Мы используем теорию как внешний стимул, но было бы неплохо, если бы она стала внутренним стимулом".

Дорожная карта КТП

Математика не принимает новые темы легкомысленно. Многие базовые понятия прошли через долгие испытания, прежде чем занять канонические места в этой области.

Возьмем, к примеру, действительные числа. Математикам потребовалось почти 2 000 лет практики, чтобы прийти к согласию в их определении. Наконец, в 1850-х годах они остановились на точном выражении из трех слов, описывающем вещественные числа: "полное упорядоченное поле". Они полны, потому что не содержат пробелов; они упорядочены, потому что всегда есть способ определить, больше или меньше одно число по отношению к другому; они образуют "поле", то есть следуют правилам арифметики.

"Эти три слова - исторически трудные", - уверен Фрид.

Чтобы превратить КТП во внутренний стимул, математикам придется дать теории такое же объяснение, как и вещественным числам: четкий список характеристик, удовлетворяющий любую квантовую теорию поля.

Большую работу по переводу частей КТП в математику проделал Кевин Костелло из Института Ватерлоо, Онтарио, Канада. В 2016 году он написал учебник, который ставит пертурбативную КТП на прочную математическую основу, включая формализацию бесконечных величин, которые появляются при увеличении числа взаимодействий. Эта работа следует за алгебраической квантовой теорией поля, которую Рейзнер рассмотрела в своей книге 2016 года. Хотя пертурбативная КТП не описывает Вселенную, математики знают, как справиться с физически несенсационными бесконечностями.

"Его вклад чрезвычайно изобретателен и проницателен. Он поместил теорию в новые красивые рамки строгой математики", - говорит Мур.

Костелло поясняет, что написал книгу из желания сделать пертурбативную квантовую теорию поля более последовательной.

"Я просто нашел методы некоторых физиков немотивированными и ситуативными. Мне хотелось чего-то более самодостаточного, с чем мог бы работать математик", - говорит он.

Уточнив, как именно работает теория возмущений, Костелло создал основу, на которой физики и математики могут строить новые квантовые теории поля. Новую математику быстро приняли другие специалисты в этой области.

Костелло также работал над определением того, что такое квантовая теория поля. В урезанном виде она требует геометрического пространства, где проводятся наблюдения в каждой точке, в сочетании с корреляционными функциями, которые выражают, как наблюдения связаны друг с другом. Работа Костелло описывает свойства корреляционных функций, подводя их к формальным требованиям КТП.

Наиболее известные теории, Стандартная модель к примеру, содержат дополнительные свойства, не присущие для всех теорий поля. Вероятно, они описывают другие, еще не открытые свойства. И здесь кроется методологическая проблема: как рассчитать то, чего нет или то, что неизвестно?

Стандартная модель в квантовой теории

"Существует большой фонарный столб, под которым можно найти теории полей, а вокруг него - большая тьма, которую мы не понимаем, как определить, но знаем, что она есть", - философствует Гайотто.

Костелло осветил часть этого темного пространства при помощи ряда определений квантового поля. На основе этих определений он открыл две новые квантовые теории поля. Ни одна из них не описывает нашу четырехмерную вселенную, но они удовлетворяют основным требованиям геометрического пространства, оснащенного корреляционными функциями.

И если математика сможет определить полное пространство возможностей квантовых теорий поля - все множество различных возможностей для удовлетворения общего определения, включающего корреляционные функции, - физики найдут путь к слабо представляемым конкретным теориям.

Задача на несколько поколений

Предстоит пройти долгий путь. До сих пор все квантовые теории поля, представленные в полном математическом виде, опираются на различные упрощения, которые облегчают математическую работу с ними.

Один из таких способов заключается в изучении более простых двумерных КТП, а не четырехмерных. Недавно группа исследователей из Франции выяснила все математические детали двумерной КТП.

Другие упрощения предполагают, что квантовые поля симметричны таким образом, что они не соответствуют физической реальности, но математически эквивалентны. К ним относятся "суперсимметричные" и "топологические" КТП.

Следующим и гораздо более сложным шагом будет математическое описание квантовой теории поля, которое лучше соответствует физическому миру, точнее говоря, геометрии, выстроенной общей теорией относительности Эйнштейна.

"Очень неудобно, что у нас нет ни одной квантовой теории поля, которую мы могли бы описать в четырех измерениях непертурбативно, - заявила Рейзнер. - Это трудная проблема, и, очевидно, для ее решения потребуется не одно и не два поколения математиков и физиков".

Что, впрочем, не мешает математикам и физикам метаться между неопределенным и доступным. Определение характерных свойств, общих для всех квантовых теорий поля, почти наверняка потребует объединения двух столпов математики: анализа, который поясняет, как управлять бесконечностями и геометрией, которая формализует язык симметрии.

"Это увлекательная проблема в самой математике, потому что она объединяет две великие идеи", - говорит Дейкграаф.

Если математики смогут понять КТП, то неизвестно, какие открытия ожидают нас в будущем. Математики давно определили характерные свойства других объектов, таких как многообразия и группы, и теперь эти объекты пронизывают практически каждый уголок царицы наук.

"Мне нравится говорить, что физики не обязательно знают все, но физика знает все, - утверждает Бен-Цви. - Если вы зададите ей правильные вопросы, то в ней уже есть явления, которые ищут математики".

А для физиков полное математическое описание КТП - это обратная сторона главной цели их исследований: полного описания физической реальности.

"Я чувствую, что существует одна интеллектуальная структура, которая охватывает все, и, возможно, она охватит всю физику", - убежден Зайберг.

Теперь математикам остается только раскрыть ее.

Дата: 2021-07-02

Автор: Всеволод Гордиенко

Поделиться с друзьями: