Главная Физика Теория квантовой гравитации предполагает дискретность времени

Петлевая квантовая гравитация. Время дискретно?

Петлевая квантовая гравитация - это теория, истоки которой восходят к 1986 году. Тогда математик Амитаба Сен и физик Абхай Аштекар работали над новой формулировкой общей теории относительности, используя новые математические переменные, которые они назвали «связями».

Символы Кристоффеля (коэффициенты координатного выражения аффинной связности, используются в уравнениях поля Эйнштейна и ковариантной производной), которые фактически заменяют гравитацию Ньютона на геометрическое описание гравитации, с математической точки зрения являются искомой связью.

В аштекарской формулировке ОТО полевой переменной является уже не метрика, а так называемая самодуальная связь (она отличается от символов Кристоффеля). С тех пор их также называют переменными Аштекара.

В том же 1986 году Тед Якобсон и Ли Смолин переформулировали уравнение Уилера — Де Витта в категориях новых переменных. Они нашли класс точных решений этих уравнений: петли Вильсона.

Далее было введено понятие голономия - это термин, используемый для обозначения параллельного распространителя (оператора голономии), то есть оператора, который осуществляет параллельный перенос контекста, вектора или тензора вдоль замкнутой кривой пространствва-времени. Математически это проявляется в римановом многообразии.

Голономия удовлетворяет определенным математическим свойствам, прежде всего, она образует математическую группу - группу голономий. Теперь след оператора голономии (сумма диагональных элементов, если оператор представлен в виде матрицы) имеет особый смысл.

След, связанный с определенным путем через пространство-время, служит для определения физических величин, переносимых параллельно при распространении частицы по этому пути через пространство-время.

Что такое петлевая квантовая гравитация?

В качестве примера, пусть электрон движется через пространство-время. Используя параллельный пропагатор, можно изучить, как изменяется наблюдаемый спин. Кривизна пространства-времени поворачивает вектор спина по мере его движения по замкнутой кривой.

Если мы теперь вычислим след связанного параллельного пропагатора, мы найдем меру того, как изменился наблюдаемый спин. Требования к кривым заключаются в том, что они должны быть "гладкими" и не должны иметь никаких пересечений. След оператора голономии инвариантен и является петлей Вильсона.

Петли Вильсона оказались естественными основными переменными при рассмотрении квантовой теории как калибровочной теории; они позволили сформулировать квантовую хромодинамику (теория Янга-Миллса, решеточная калибровочная теория).

 

Таким образом, калибровочные теории получили глубокую геометрическую интерпретацию. Этот формализм также успешно применяется в петлевой квантовой гравитации и дал название концепции. То есть вильсоновские петли связи Аштекара решают переформулированное уравнение Уилера — Де Витта.

В 1987 году Карло Ровелли и Ли Смолин использовали петли Вильсона в качестве новых основных состояний отдельного гильбертова пространства квантовой гравитации. Физические величины (наблюдения) представляются базой петель. Гильбертово пространство петель можно лучше понять в сравнении с квантовой системой гармонического осциллятора квантовой механики.

В случае гармонического осциллятора сначала исходят из оператора Гамильтона (гамильтониана). Он содержит наблюдаемые импульс и местоположение в качестве операторов.

После чего формулируется проблема собственных значений этой квантовой системы, решение которой предоставляет собственные значения энергии гамильтониана и состояния (собственные функции, волновые функции).

Таким образом, дискретный спектр оператора найден. Уровни энергии соседних собственных состояний в гармоническом осцилляторе отличаются на один квант осциллятора (виброн), который имеет дискретную энергию, соответствующую произведению кванта действия Планка и частоты осциллятора.

С помощью натурального числа n можно параметризовать дискретный спектр. Основное состояние, вакуумное состояние гармонического осциллятора, имеет только n = 0 и дает конечное собственное значение энергии, вакуумную энергию гармонического осциллятора.

В n-ом собственном состоянии содержится всего n квантов осциллятора.

 

В полевой теории электродинамики, QED, которая формулируется аналогичным образом, такие частицы называются фотонами. Квантование электромагнитного поля, однако, гораздо сложнее в своих деталях, чем квантовая механика гармонического осциллятора (в том числе из-за процедуры перенормировки).

Теория Гамильтона-Якоби, уже практикуемая в классической механике, может быть использована для нахождения формы гамильтониана LQG. Метод LQG в основном следует описанной концепции квантовой механики (если получен подходящий гамильтониан), но также учитывает законы общей относительности.

Таким образом, можно зайти так далеко, что локальное измерение длин, площадей и объемов эквивалентно измерению локальных свойств гравитационного поля. То есть объем в LQG оказывается оператором объема, который является нелинейной функцией гравитационного поля или метрики.

Спектр этого оператора дискретен; объем пространства квантуется в квантах объема, аналогично описанному выше гармоническому осциллятору. Это несводимые элементы пространства, занимающие объем 10^-99 кубических сантиметров (планковская длина в степени 3).

Результирующая зернистость пространства-времени в масштабе Планка является важным результатом петлевой квантовой гравитации и была обнаружена в 1992 году. Таким образом, LQG описывает мелкомасштабную структуру пространства-времени и проецирует релятивистскую космологию на микроскопический масштаб.

Размер зерна иногда описывается термином "пена пространства-времени". Этот результат LQG резко контрастирует с термином "пространство-время-континуум" теории относительности: пространство-время оказывается прерывным или дискретным на малых квантовых масштабах.

Теперь между соседними объемами пространства существует общая область с определенной площадью поверхности. Эта площадь также зависит от гравитационного поля и квантуется, как и объем, а именно в квантах площади. Их протяженность равна квадрату планковской длины, то есть 10^-66 квадратных сантиметров.

Таким образом, поверхность Земли состоит из 10^85 площадей. В общем виде можно везде представить квантовое состояние, которое состоит из n объемных квантов, в виде узлового графа.

Область математики, которая занимается данным направлением, называется теорией графов. Узлы просто соответствуют квантам объема; соседние кванты объема "соединены" квантами площади.

Теоретики называют только что описанную структуру спиновой сетью. Этим образованиям можно присвоить квантовые числа, которые в настоящее время ассоциируются с квантами объема и площади. Любые объемы могут быть представлены в виде сложных спиновых сетей. В спиновых сетях имеют значение только квантовые числа и относительные связи. Они содержат информацию о квантованном пространстве.

Открытие спиновых сетей стало важным шагом в теории (Rovelli & Smolin 1995). Однако термин "спиновая сеть" был введен еще в 1971 году британским релятивистом и математиком Роджером Пенроузом с намерением рассматривать многообразия (в теории относительности - пространственные пространства) с комбинаторной точки зрения.

До того, как спиновые сети нашли свой путь в LQG, петли и мультипетли (состояние из многих петель, которые также могут пересекаться) использовались в качестве основных состояний для гильбертова пространства.

Спиновые сети представляют собой новую, ортонормальную основу. Они имеют вычислительные преимущества перед состояниями петель. Так, состояния спиновых сетей диагонализируют оператор площади и объема, что делает их более "математически удобными".

Этот подход не учитывает кривизну пространства. Кроме того, он пренебрегает временной координатой (а она вообще нужна?), которая (в альтернативной теории) образует сетевой континуум с тремя направлениями пространства. То, с чем мы имеем дело общей теории относительности.

Впрочем, большинство теоретиков предполагает, что спиновым сетям должно быть позволено развиваться во времени.

Каким образом? Например, в ходе этого развития узлы спиновой сети исчезают, появляются новые, возникают новые связи и растворяются старые. Такая структура называется спиновой пеной.

Благодаря временному развитию, узлы спиновых сетей становятся линиями в спиновой пене, а линии в спиновой сети трансформируются в поверхности в спиновой пены.

Время также квантуется в фундаментальных единицах Планка, то есть в "пакетах времени" по 10^-43 секунды. Таким образом, время не является пресловутым непрерывным потоком, а скорее сравнимо с тиканьем часов.

Во время этих "скачков времени" форма спиновой сети меняется очень резко, мгновенно. Это развитие становится заметным, когда спиновая пена распадается вдоль оси времени на спиновые сети. С каждым квантом времени спиновая сеть реформируется.

Другими словами: везде, где вновь образуется спиновая сеть, локальные часы тикают один раз!

В конце концов, это странное свойство было введено в теорию в качестве требования. Оно называется фоновой независимостью и является наиболее важным свойством квантовой гравитации.

Исторически теория была предвосхищена ОТО и подразумевалась при описании ковариантной гравитации. Геометрия пространства-времени в теории относительности динамична; фон не статичен, а изменяется под воздействием движущихся масс и энергий.

Другой аспект независимости фона заключается в том, что выбор системы координат является свободным. Это следует из принципа ковариации, поскольку тензоры ОТО не зависят от координат.

 

Математически это свойство можно обобщить с независимостью теории "перемещений" на многообразии. В общем случае правила отображения в математике называют морфизмами. Они являются предметом теории категорий.

Независимость от фона математически называется диффеоморфизмом-инвариантностью. Диффеоморфизм - это отображение, которое просто приводит к смещению на многообразии.

Однако, несмотря на это смещение, физика не должна меняться: так диктует общая теория относительности.

Если абстрагировать две спиновые сети как графы, то они могут быть переведены друг в друга с помощью диффеоморфизма.

Диффеоморфизм-инвариантность теперь утверждает, что эти две спиновые сети калибровочно эквивалентны, описывают одну и ту же физику.

Спиновая сеть находится не в пространстве-времени, а сами являются пространством-времени!