Главная Математика Понятие бесконечности в математике. Вопросі Дєвида Гилберта

Альтернативная философия математики

Если бесконечное, поскольку оно бесконечно, непознаваемо, то и бесконечное по количеству или величине непознаваемо, сколь оно велико, и бесконечное по виду непознаваемо, каково оно по качеству. Поскольку начала бесконечны и по количеству и по виду, то познать образованные из них [вещи] невозможно: ведь мы только тогда полагаем, что познали сложную вещь, когда узнаем, из каких и из скольких [начал] она состоит... - Аристотель, "Физика", 4гл..

"Бесконечность! Ни один вопрос не оказывал столь глубокого воздействия на человеческий дух, ни одна идея не стимулировала столь плодотворно интеллект человека, и тем не менее ни одно понятие не нуждается в прояснении так сильно, как понятие бесконечности" ..."Необходимо уяснить, что бесконечность лишена наглядного смысла и без более подробного исследования лишена всякого смысла, так как существует только то, что конечно. Не существует бесконечно большой скорости, равно как и бесконечно быстро распространяющейся силы или действия. К тому же действие по своей природе дискретно и существует только квантами. Не существует ничего континуального, сплошного, бесконечно делимого. Даже свет обладает корпускулярной, атомистической структурой, как и действие. Наша Вселенная, по моему глубокому убеждению, обладает лишь конечной протяженностью, и астрономы когда-нибудь сообщат нам, на сколько километров простирается мировое пространство в длину, высоту и ширину. И хотя в реальных случаях встречаются очень большие числа, например расстояния до звезд в километрах, или число потенциально возможных существенно различных шахматных партий, тем не менее нескончаемость, или бесконечность, поскольку она представляет собой отрицание того состояния, которое доминирует повсюду, есть чудовищная абстракция, которая реализуется только путем сознательного или несознательного применения аксиоматических методов. " Д.Гилберт.

Дэвид Гильберт

В августе 1900 года выдающийся немецкий математик Давид Гильберт выступил с историческим докладом на Международном конгрессе математиков в Париже и предложил 23 основные математические задачи, главным образом для создания логической основы без противоречий, а также построенной на простой системе аксиом.

Учитывая выдающиеся достижения этой научной области, такая задача, казалось бы, не представляет особых трудностей, но год спустя британский логик Бертран Рассел обнаружил неразрешимое противоречие о классификации множеств, теории подстановки Рише.

Противоречия, сотрясающие основы математической логики, разрешаются только введением новых аксиом. Но в 1931 году Курт Гёгель опубликовал статью, в которой показал, что математика никогда не может быть логически совершенной.

Во-первых, всегда есть теоремы, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Во-вторых, непротиворечивость теории нельзя доказать формальными методами. (Была когда-то простая очевидная на первый взгляд теорема, доказывающая бесконечность ряда натуральных чисел, что, в свою очередь, символизирует понятие бесконечности (по Кантору) — примерно так:

«Если из обратного взять N - конечное число последовательностей натуральных чисел (1,2,3,...,N.), вам нужно только добавить 1 к числу N, чтобы доказать, что N не является конечным числом натуральных чисел.Такие действия могут продолжайте непрерывно, доказывая, что естественная Бесконечность ряда».

Но доказательство здесь явно ошибочно. Утверждение: «произвольный», «непрерывный», «постоянный» и подобные языковые формы являются семантическими синонимами понятия бесконечности и поэтому не могут использоваться для доказательства этого понятия.

Более того, если в начальных условиях теоремы предполагается конечное число N, то оно распространяется и на число арифметических операций. Да, число N не является конечным натуральным числом, но конечное число операций над конечным числом элементов всегда закончится другим, обязательно конечным числом М, хотя оно и намного больше.

При правильной формулировке эта теорема скорее отвергнет понятие бесконечности, чем докажет его. ) Поначалу всем казалось, что теория неполноты Гегеля затрагивает какую-то далекую, неизведанную территорию математики, но в 1963 году математик Пол Коэн сделал блокбастерный доклад:

Ему удалось доказать, что одно из основных понятий математики — неразрешимость концепция континуума! ... (Как не вспомнить слова Парменида, утверждавшего, что понятия бесконечности и движения бытия ложны, ибо приводят к неразрешимым логическим противоречиям.).

Вроде бы ничего страшного не происходит, так как недоказуемость континуум-гипотезы ее не опровергает, но из платоновской концепции математические сущности, как и идеи Платона, должны существовать объективно (например, как логические возможности), а значит, все их свойства должны быть однозначно определены.

Но это как раз и полностью противоречит теореме Гёделя. В общепринятой философии математики, казавшейся незыблемой со времен Платона, вдруг появились трещины... уже в 18-м и 90-м веках Гаусс, Лобачевский, Риман, Лоренц, Пуанкаре, Минковский, другие исследователи, такие как Гёдель, переосмыслили роль и характер многих понятий бесконечности.

Немецкий математик, логик и философ Фреге (G. Frege, 1848-1925) с целью определения основания математики выдвинул идею строго формализовать математические рассуждения абстрактными методами, взяв сущность математики как неинтерпретируемую Метод исчисления (формальные системы). Эту идею поддерживали многие математики, начиная с Гильберта...

Попытки создать непротиворечивую математическую основу в XX веке потерпели неудачу, что вызвало серьезные сомнения в ее безошибочности и неуязвимости как основного инструмента познания окружающего мира, порождая настроения скептицизма и нигилизма, чем-то сродни настроениям V века. среднего века до нашей эры.

Эпоха софистики. Кажется, что философия математики, когда-то выбранная как единственно возможная, зашла в тупик. Все чаще рассматриваются прагматические предложения отказаться от строгих доказательств в пользу конечных практических результатов вычислений как предпочтительных значений или принять такие предложения, например, как полные пересчеты возможных вариантов решения задачи на ЭВМ. Вот несколько цитат известных математиков:

“Буйное, плохо вмещающееся в какие-либо рамки, невероятно разнообразное в целях и методах – можно ли надеяться описать, хоть и кратко, но в то же время с достаточным охватом англо-американское философское предприятие? Ответ на этот вопрос – невозможно. Столь много философов творят в наше время, столь много проблем поднято ими, и поэтому полнота больше не представляется разумной амбицией." Дж. Пассмор.

"В XX веке самая точная из точных наук испытала перелом, который принципиально меняет характер получаемых в ней результатов. ... Математика столкнулась с проблемой практически непреодолимой сложности доказательств. Решение важной задачи, которая формулируется в нескольких предложениях, может занимать десятки тысяч страниц, что фактически делает невозможным его полную запись и понимание. Если в 1875 году каждый человек, способный к математике, мог за несколько месяцев полностью разобраться в доказательстве большинства известных теорем. К 1975 году большинство математиков еще могло полностью понять доказательство любой доказанной теоремы. К 2075 году многие области чистой математики будут зависеть от теорем, которые не понимает никто из математиков — ни индивидуально, ни коллективно. ... Обычным делом станет формальная верификация сложных доказательств, но при этом будет много результатов, признание которых будет основано на социальном консенсусе в не меньшей мере, чем на строгом доказательстве... Подобно инженерам, математики станут говорить не о твердом знании, а о степени уверенности в надежности своих результатов. Это может сблизить математику с другими дисциплинами и, возможно, приведет к снятию философского вопроса об особом онтологическом статусе математических объектов...». Брайан Дэвис "Куда идёт математика?"

"Зачастую нет смысла философствовать по поводу математики, ища в ней скрытый смысл. Все, что есть в математике, – это деятельность работающих математиков, и поиски философов по поводу того, что такое математика, не имеют отношения к деятельности математиков. Философия тут берет ложный след... Работающий математик всю неделю сознает себя формалистом, и лишь по воскресеньям – платонистом." Р.Херш.

"Философия пошла по неверному пути, ассоциировав себя с математикой. Философия, подобно математике, опирается на аргументацию, поскольку обе науки используют логику. Но в отличие от общепринятых стандартов у математиков стандарты аргументации у философов оказались весьма различными. Отношения философии и богини Разума всегда были скорее отношениями вынужденного сожительства, нежели отношениями романтической связи, которая всегда существовала между математикой и богиней Разума. ...Заключения философов часто диктуются эмоциями и разум в этих заключениях играет лишь вспомогательную роль. А поиски философией окончательного ответа на свои вопросы вылилась в рабскую имитацию математики. Апелляция к математической логике, которая и представляет собой главную основу философии математики, оказалась несостоятельной, потому что логика больше не является частью философии. Математическая логика является процветающей частью математики, и она прекратила свои связи с основаниями математики. Ценой допущения логики в математическую область было гигиеническое очищение даже от следов философии”." Ж.К.Рота.

"Некоторые из глубочайших проблем философии состоят в примирении естественных, но несовместимых онтологий. Нигде такой конфликт не является столь старым, как в философии математики. Платон героически пытался найти правдоподобную эпистемологию для своей теории форм. Платонизм правдоподобен, когда вы мыслите о математической истине, но становится невозможным, когда речь идет о математическом познании. Так что стоит переосмыслить основные проблемы теории познания, коль скоро причинность, холизм и натурализованная эпистемология заняли место чувственных данных и аналитичности. Нашим интеллектуальным долгом является прогресс не просто в математической логике, но и в эпистемологии”У.Харт.

"Если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты? ...Дилемма ставит перед нами выбор: либо отрицать, что математика говорит о числах, либо предполагать некоторые неестественные способности человека в отношении сбора информации." П.Бенацерраф.

В полной аналогии с развитием более ранней эпохи софистики только появление нового Демокрита и иной философии может решить возникшие проблемы, причем недостаточно затронуть не только внутренние проблемы математики, но и мировоззренческие проблемы, аспекты гуманитарных и естественных наук.

Но почему этого недостаточно? В 1973 г. чешский математик П. Вопенка предложил к рассмотрению альтернативную теорию множеств (АСТ), суть которой состоит в изменении классического взгляда на понятие бесконечности в математике. Идея авторов новой теории состоит в том, чтобы признать альтернативную бесконечность условным, бесконечно конечным постулатом!

В качестве наглядного примера это можно было бы уподобить некоему горизонту, который естественным образом ограничивает наше мировоззрение.

Горизонт не является неподвижной или непреодолимой границей, он не имеет определенного положения — он все удаляется от нас по мере нашего приближения к нему, но, как бы мы ни старались, выйти за него невозможно.

Можно сказать, что горизонт — это временная остановка, которая всегда ограничивает наше видение и ограничивает наше понимание чего-либо. Принятие теории «естественной бесконечности» как принципа условных границ, останавливающихся при рассмотрении математических процессов, решает почти все проблемы теории множеств и устраняет противоречия в большинстве логических парадоксов. Блестящая идея П. Вопенки сегодня считается одной из самых многообещающих теорий, но все это, кажется, произошло 2500 лет назад (см. «Бесконечное оглядывание назад, или Память о будущем»). Правы ли еще Левкипп и Демокрит, ведь введение допущения дискретности или условной конечности (теоретически бесконечности) деления и есть их идея! ?

(Напомню, что, по Аристотелю, платоники тоже рассматривали введение подобных допущений в геометрию!) Однако можно ли примирить в рамках одной философии два противоположных значения?понятий - бесконечности и конечности чего-либо?

Не вызовет ли это новую волну споров? Конечно, бесконечность является абсолютно идеализированным и абстрактным понятием в математике, потому что не имеет связи с реальным физическим миром, но многие математики считают, что если теория немного скомпрометирует принцип, то это не повлияет на слишком большое влияние, вместо принимая понятие "бесконечный размер (малый)" - понятие "бесконечный размер (малый)" или, например, "произвольный размер (малый)", подразумевающий двоякое значение, в том числе конечное количество (роль).

Или, например, принятие дифференциала ни в малейшей степени не вредит ни теории, ни практике, наоборот, узаконивает понятие интеграции.

Третий путь, принятый и, возможно, приемлемый другими отраслями науки, называется признанием. Дуализм знания, допускающий параллельное использование, казалось бы, противоречащих друг другу подходов с равными правами. Проявление этого дуалистического эффекта изначально заложено в нашу сознательную структуру самой природой в виде двух полушарий головного мозга, ответственных: одно за пространственные метафоры, другое за логическое языковое восприятие окружающего мира, что определяет сам мыслительный процесс.

Суть - это абстрактное воображение и логический анализ. Таким образом, тысячелетние философские вопросы о том, что является фундаментальным и истинным: логика или интуиция, опыт или догадка - обычно неверны, т.к. Не стоит всерьез спорить, какому полушарию мозга можно доверять в большей степени.

В принципе, различия между теориями Парменида и Гераклита лишь относительные. Дилемма Зенона сначала показывает, что невозможно отделить измерение пространства от измерения времени. Но дело в том, что модель мировоззрения Парменида и его последователей помещала наблюдателя внутрь рассматриваемой системы, так что время и пространство находились в синхронизации, что позволяло решать реальные математические задачи в реальном мире просто и логично.

Сторонник теории Гераклита утверждает, что мир предстает как бы увиденным извне, для наблюдателя, измеряющего в своей собственной системе отсчета, с поправкой (как известно, она задается определяемым преобразованием Лоренца). Но точка зрения Гераклита не определена, а потому дает лишь общее, теоретическое представление об объекте рассматриваемой системы, а значит, такая теория использует неопределенные понятия, например бесконечность. С другой стороны, Демокрит предлагает некий компромисс (инвариантность) — введение, хотя и внешних по отношению к системе, неких неподвижных точек наблюдения (опорных точек) для внешних наблюдателей, которые позволяют полностью, дискретно рассматривать эти объекты внимательно, комбинируя теория с практикой.

Поэтому мне кажется, что нет смысла спорить о том, какие математические теории истинны, а какие правомерны, поскольку они являются неотъемлемыми и необходимыми элементами единого комплекса знаний. Еще один интересный пример дуализма двух теорий, проявившийся в математике: в XVIII веке Лобачевский, осознав недоказуемость гипотезы о параллельности двух прямых, установил необычную геометрию, в которой существует множество прямых, проходящих через точку, параллелизм к данная линия разрешена - а, как известно, новая геометрия приводит к согласию! Но самое интересное, что предположение Лобачевского о множестве параллельных прямых возможно только в том случае, если плоскость предполагается конечной — для бесконечной плоскости все эти прямые, кроме двух, должны пересекаться. Так какова истинная геометрия нашего мира? ...

Конечно, на данном этапе нельзя вводить атомарную геометрию Демокрита, главным образом потому, что уже (или еще) неясно, как эта геометрия решает проблему кривых (-неделимых отрезков, вещественного дифференциала)? ) или, например, иррациональное? Хотя известно, что и пифагорейцы, и Демокрит каким-то образом решали эти проблемы, у них явно был свой взгляд на геометрию мира, принципиально отличный от евклидовского. программа. коммуникация. Евклиду, 65, 11 Фридл. =ЭВДЕМ. История геометрии, фр. 133 Вт. (начало в 11 А 11, см. 86 В 12):

Следующим после него [Фалеса], кто предался занятиям геометрией, предание называет Мамерка, брата поэта Стесихора: После них Пифагор преобразовал занятия геометрией в свободную дисциплину, изучая ее высшие основания и рассматривая теоремы in abstracto [собств. 'в отвлечении от материи'] и ноэтически. Он же открыл теорию иррациональных и конструкцию космических фигур [=правильных многогранников]. ЯМВЛИХ. О пифагорейской жизни, 246:

Как сообщают, к тому, кто первым открыл недостойным посвящения в учения природу соизмеримости и несоизмеримости, [пифагорейцы] прониклись такой ненавистью и отвращением, что не только изгнали его из своего общества и общежития, но и соорудили ему гробницу в знак того, что они считают своего бывшего товарища ушедшим из жизни... Некоторые же утверждали, что это случилось с тем, кто разгласил учение об иррациональности и несоизмеримости. ЭЛИАС, CAG 18, 1. с. 125 Busse:

Пифагорейец опубликовал однотомный труд «О линиях иррациональности» только для того, чтобы потерпеть крушение из-за раскрытия тайны. Но, несмотря на это, история завершила свой круговорот и создала все предпосылки для ретроспективного рассмотрения мысли прошлого. Ясно, что разбросанные остатки атомной теории мало пригодятся теперь современной математике, если бы в принципе столько же воли и усилий было направлено на их восстановление и обработку, например, на подтверждение понятия бесконечности в математике.

Гипотетическое решение Антифона могло выявить трансцендентные числа в виде формул (конечных рядов) путем возведения в квадрат предложенного выше круга (совершенно незаконного с точки зрения современной математики) - неужели лишь малая часть первого материализма Древней Греции была утеряна христианским знанием? Кто знает, может быть, когда-нибудь альтернативная математика займет достойное место среди разнообразных подходов к познанию.