Главная Математика Задача об иголке может перевернуть теорию действительных чисел

Гипотеза Какея: решить решенную задачу

Догадка профессора Какея звучит как головоломка. Положите плашмя иглу на стол. Какая нужна площадь для того, чтобы повернуть ее так, чтобы направить ее во все возможные стороны?

Самый очевидный ответ - круг, диаметр которого равен длине иглы. Но это несовсем верно. И за последнее столетие усилия математиков, работавших в данном направлении, показали: то, что казалось забавным вопросом, на самом деле является глубоко провокационной математической проблемой о природе действительных чисел - бесконечных прямых, которые служат координатами в пространстве, где впервые была поставлена проблема.

Все началось с доказательств, методологически ориентированных на решение задачи об иголке. Эти результаты переносят исходный вопрос из области действительных чисел, где математики оказались в тупике, в геометрический и арифметический миры, с их альтернативными системами счисления. Как оказалось, с ними легче работать.

Изобретательность вдохнула в математиков новую душу.

"Предположение Какея кажется трудным, но в то же время правдоподобно, что через несколько лет будет найдено решение", - полагает Ларри Гут, математик из Массачусетского технологического института, работающий над этой проблемой более 15 лет.

Набор Какея

Современные версии гипотезы недалеко ушли от первоначальной трактовки, сделанной еще в 1917 году. Японского математика интересовал вопрос о наименьшей площади, необходимой в двумерной плоскости, чтобы повернуть одномерную линию заданной длины таким образом, чтобы в итоге она указывала во все стороны.

Задача об иголкеДля этого достаточно диска с диаметром, равным длине линии - просто вращайте линию, как циферблат. Но могут подойти и более мелкие фигуры.

Например, возьмем равносторонний треугольник с высотой, равной длине линии. Выполнив ряд поворотов, которые, по сути, являются трехточечными, вы смещаете линию - которая имеет нулевую площадь, поскольку она одномерна - вокруг треугольника и добавляете желаемую разметку. Набор точек, который позволяет выполнить такое наведение, известен как набор Какея.

Японец хотел узнать наименее возможную площадь множества. В 1919 году Абрам Бесикович дал удивительный ответ: нет предела тому, насколько малым может быть набор Какея.

Он продемонстрировал, что можно построить почти бесконечное количество множеств Какея, которые доводят размеры равностороннего треугольника до крайности. Вместо трех углов треугольника получается множество углов внутри углов, расходящихся во всех направлениях.

Странная штука, похожая на ежа

"В пределе это странная штука, похожая на ежа", - говорит Зеев Двир, профессор Принстонского университета и автор одного из новых доказательств. - В результате получается сложная фрактальная структура с произвольно малой площадью, на столько, что равносильно отсутствию площади вообще".

Казалось, построение Бешиковича решило проблему. Но десятилетия спустя математики разработали иную версию, которая оказалась гораздо более неприятной.

Множества Какея и пустота

Бешикович доказал, что множества Какея могут иметь исчезающую площадь, но для описания размера фигуры есть другие способы, кроме площади. Такие множества по-прежнему содержат точки, но в 1970-х годах возник другой вопрос: насколько эффективно расположены эти точки?

Другой вариант, иллюстрирующий задачу об иголке

Этот вопрос, получивший название «предположение Какея», предсказывает, что если у вас есть, скажем, маленькие квадраты ткани, и вы пытаетесь расположить их на наборе Какея так, чтобы квадраты полностью покрывали множество, то в каком-то очень точном смысле вам понадобится много квадратов для полного покрытия.

Степень, в которой точки множества расположены таким образом, что их легче или труднее покрыть, отражается в двух тесно связанных метриках, называемых размерностью Хаусдорфа и размерностью Минковского. Эти размерности дают еще одну строгую основу для изучения множеств Какея.

 

Гипотеза Какея предсказывает, что размерности Хаусдорфа и Минковского множества Какея должны быть как можно большими. Хотя точные определения самих размерностей является техническим вопросом, интуиция, лежащая в основе гипотезы, довольно проста: чтобы линии проходили везде, нужно много чего-то.

"У вас есть по одной линии в каждом направлении, и представьте, что вы пытаетесь сжать их все во что-то. Как это можно сжать?" - объясняет Гут.

Загадка Какея

Загадка Какея существует в евклидовом пространстве, где точки определяются вещественными числами - числами, которые могут иметь бесконечно длинную десятичную дробь, например 19,1777... или пи. Со временем стало ясно, что вещественные координаты являются важной частью того, почему загадку Какея так трудно решить.

Что именно в вещественных числах создает препятствие, не совсем ясно, но некоторые особенности выделяются.

  • Во-первых, вещественные числа непрерывны, что означает, что их нельзя рассматривать на любом дискретном интервале без потери возможности выполнять арифметические действия. Например, если вы ограничите себя интервалом между 1 и 2, вы потеряете сложение.
  • Во-вторых, вещественные числа бесконечны, то есть независимо от того, насколько сильно вы увеличиваете их масштаб, вы видите одно и то же в любом масштабе.
  • В-третьих, вещественные числа могут быть очень близки к нулю, не будучи на самом деле нулем.

"В этом и заключается техническая сложность", - полагает Джошуа Зал из Университета Британской Колумбии.

Сложность вещественных чисел побудила математиков рассмотреть версии гипотезы Какея, которые задаются в меньших системах счисления. Например, в них могут быть только целые числа от 1 до 5. И хотя эти системы счисления не очень похожи на действительные числа, они обладают многими из основных арифметических свойств и позволяют выполнять сложение, вычитание, умножение и деление.

Они также достаточно богаты, чтобы поддерживать методы линейной алгебры для определения линий, а когда у вас есть линии, вы можете задать немного измененную версию гипотезы Какея: каков минимальный размер набора точек в одной из систем счисления, когдам можно построить линию в любом направлении? Этот вопрос Томас Вольф задал в 1996 году. С тех пор математики подходят к нему как к строительным лесам, которые приближают их к ответу на саму гипотезу Какея.

"Идея в том, что проблема предположительно проще, и, возможно, следует попробовать разработать методы ее решения, чтобы получить идеи для решения настоящего евклидова случая", - говорит Маник Дхар из Принстона, автор двух недавних работ, посвященных гипотезе Какея.

Иллюзорное решение задачи Какея

Чтобы определить одну из заданных небольших систем чисел, сначала нужно выбрать число. Возможно, вы выберете 9, и тогда ваша система чисел будет содержать целые числа от 1 до 9. А может быть, вы выберете 17, 25 или 83.

 

Ваш выбор имеет значение. В частности, то, является ли это число (называемое модулем) простым или не простым, и каким образом оно не является простым, оказывает большое влияние как на поведение системы счисления, так и на методы, которые применимы для решения задачи Какея.

В 2008 году Двир преодолел задачу Какея для конечных простых чисел, что является частным случаем, который имел в виду Вольф в 1996 году. Решение относится к системе конечных полей.

Двир доказал, что в конечных полях множество Какея обязательно имеет наибольшую возможную размерность (где размерность переформулирована таким образом, что получает смысл в конечной системе). Его доказательство, состоящее всего из двух страниц, в значительной степени опиралось на тот факт, что когда модуль является простым, любое множество в системе конечных чисел служит корнем полиномиального уравнения. Это означает, что множество может быть описано уравнением так, как не описываются множества Какея в вещественных числах.

Доказательство Двира - первый серьезный прогресс в решении задачи Какея. На мгновение математики понадеялись на то, что евклидова задача Какея будет решена.

Но не так сталось, как предполагадлсь.

"Люди были очень взволнованы, мы все очень старались, но ничего не вышло", - сокрушается Гут.

Системы счисления не имеют знчения

В ноябре 2020 года Двир и Дхар, его аспирант, решили задачу Какея для конечных систем счисления, где модулем является любое число, точнее, произведение различных простых чисел, например 15 (3 × 5). Эти системы чисел потребовали выйти за рамки полиномиального метода. Поэтому они преобразовали задачу в вопрос о матрицах.

Здесь столбцы представляют точки, а строки - направления. Если в определенной точке есть линия, идущая в определенном направлении, запишите 1 в соответствующем месте матрицы. В противном случае введите 0.

Таким образом, матрица кодирует свойства набора линий. Теперь вычислите свойства самой матрицы и определить свойства набора. В частности, "ранг" матрицы напрямую связан с размером набора линий.

Дхар и Двир доказали, что множество прямых велико, а значит, для конкретных систем счисления гипотеза Какея верна - любое множество точек, содержащее прямые во всех направлениях, должно быть большим.

Менее чем через год после получения результата Дхара и Двира Бодан Арсовски внес некоторые уточнения. В августе 2021 года он доказал гипотезу Какея для конечных систем счисления, в которых модулем выступает простое число, возведенное в степень, например, 9 (32). Из этого следует гипотеза бесконечной системы чисел, так называемой р-адики.

После выхода статьи Арсовского математики бросились выяснять, можно ли модифицировать его методы, чтобы применить их к действительным числам. Через нескольких месяцев бесплодных усилий стало очевидно, что, по крайней мере, на данный момент это невозможно делать.

"Есть небольшие различия в поведении поля действительных чисел и p-адических полей, из-за которых аналогия как бы разрушается", - поясняет Алехо Сальваторе, докторант Висконсинского университета в Мэдисоне.

Далее произошли еще два сюжетных поворота. В октябре прошлого года Дхар доказал, что гипотеза Какея верна для конечных систем чисел с любым модулем. Затем в феврале Сальваторе подтвердил эту гипотезу для более экзотических систем чисел, называемых локальными полями положительной характеристики, в которых конечное поле дополняется переменной.

Можно по-разному относиться к этому шквалу результатов. Один из них - надеяться, что импульс сохранится: теперь, когда математики доказывают истинность гипотезы для отдельных систем счисления, возможно, следующими будут действительные числа.

Но есть и другой вариант - сделать шаг назад и спросить: почему математики до сих пор не смогли подтвердить гипотезу Какея для действительных чисел, учитывая, что они смогли подтвердить ее для других систем?

По крайней мере, один математик считает, что объяснение может быть самым очевидным из всех.

"Я больше не уверен, что гипотеза Какея верна", - полагает Гут.

По материалам Quanta Magazine