Главная Математика Математики объединяют понятия бесконечности и континуума чисел

Континуум чисел или мультивселенная? Математики объединяют оба понятия

В октябре 2018 года Давид Асперо отдыхал в Италии, когда его осенило: есть доказательство размерности бесконечности! Фундаментально бесконечность… конечна.

"Это была вспышка озарения", - позже вспоминал он.

Ральф Шиндлер и Давид Асперо

Асперо, математик из Университета Восточной Англии в Великобритании, позвонил Ральфу Шиндлеру из Университета Мюнстера в Германии, с которым он долгое время сотрудничал, и рассказал о своем озарении.

"Сказанное было совершенно непонятно для меня", - в свою очередь, рассказывал Шиндлер. Но в конце концов дуэт превратил фантазию в твердую логику.

Их доказательство, опубликованное в мае этого года в журнале Annals of Mathematics, объединяет две конкурирующие аксиомы, которые были выдвинуты в качестве оснований для математики бесконечности. Асперо и Шиндлер показали, что одна из этих аксиом подразумевает другую, что повышает вероятность того, что обе аксиомы - верны.

"Это фантастический результат", - говорит Менахем Магидор, математический логик Еврейского университета в Иерусалиме. - Честно говоря, я и сам пытался его получить".

«Это одна из самых интеллектуально захватывающих, абсолютно драматических вещей в истории математики».

Новая теория косвенным образом подтверждает аргументы против гипотезы континуума, чрезвычайно влиятельной гипотезы 1878 года о пластах бесконечностей. Обе аксиомы, сошедшиеся в новом доказательстве, указывают на ложность гипотезы континуума, а также на то, что дополнительный размер бесконечности находится между бесконечно большими числами.

"Теперь у нас есть последовательная альтернатива гипотезе континуума", - уверен Ильяс Фарах, математик из Йоркского университета в Торонто.

Этот результат - победа для лагеря математиков, которые в глубине души чувствуют, что гипотеза континуума неверна.

Однако другой лагерь выступает за иное видение математики бесконечности, здесь гипотеза континуума справедлива, битва между двумя партиями еще далека от победы.

Бесконечность бесконечностей

Да, бесконечность бывает разных размеров. В 1873 году немецкий математик Георг Кантор потряс науку до глубины души, когда обнаружил, что "действительные" числа, заполняющие числовую линию - например, 3,14159... - превосходят "натуральные" числа, такие как 1, 2 и 3, хотя и тех, и других бесконечно много.

Бесконечные наборы чисел нарушают нашу интуицию относительно размера, поэтому в качестве разминки сравните натуральные числа {1, 2, 3, ...} с нечетными {1, 3, 5, ...}. Вы можете подумать, что первое множество больше, поскольку во втором множестве встречается только половина его элементов. Однако Кантор понял, что элементы этих двух множеств можно поставить в соответствие один к одному. Первые элементы каждого множества (1 и 1) соединяются попарно, затем поэлементно (2 и 3) и, наконец, третьи (3 и 5) и так далее до бесконечности, охватывая все составляющие обоих множеств. В этом смысле два бесконечных множества имеют одинаковый размер, или то, что Кантор называл "кардинальностью". Он обозначил их кардинальным числом ℵ0 ("алеф-ноль").

Проблема континуума в математике

Кантор также обнаружил, что натуральные числа не могут быть поставлены в соответствие один к одному с континуумом действительных чисел. Например, попробуйте сопоставить 1 с 1.00000... и 2 с 1.00001..., и вы пропустите бесконечно много действительных чисел (например, 1.000000001...). Пересчитать их все невозможно: их кардинальность больше, чем у натуральных чисел.

Но, к огромному огорчению Кантора, он не смог этого доказать.

В 1900 году математик Дэвид Гильберт поставил гипотезу континуума на первое место в своем знаменитом списке 23 математических проблем, которые необходимо решить в 20 веке. Гильберт был очарован зарождающейся математикой бесконечности - "канторовским раем", как он ее называл, - и гипотеза континуума казалась ему низко висящим плодом.

Однако шокирующие открытия прошлого века превратили вопрос Кантора в глубокую эпистемологическую загадку.

Проблема возникла в 1931 году, когда родившийся в Австрии логик Курт Гёдель обнаружил, что любой набор аксиом, который вы можете предложить в качестве основы математики, неизбежно будет неполным. Всегда есть вопросы, которые не разрешают список основных правил, а истинные математические факты никогда нельзя доказать.

Гёдель заподозрил, что гипотеза континуума - это как раз тот случай: проблема, которая не зависит от стандартных аксиом математики.

Эти аксиомы, всего их 10, известны как ZFC (от "аксиомы Цермело-Френкеля с аксиомой выбора"), и они лежат в основе почти всей современной математики. Аксиомы описывают основные свойства коллекций объектов, или множеств. Поскольку практически все математическое вытекает из множеств (например, пустое множество {} обозначает 0; {{}} обозначает 1; {{},{{}}} обозначает 2 и так далее), наличие правил достаточно для построения доказательств во всей математике.

В 1940 году Гёдель уточнил, что нельзя использовать аксиомы ZFC для опровержения гипотезы континуума. Затем в 1963 году американский математик Пол Коэн еще более ужесточил позицию - их вообще нельзя использовать для доказательств. То есть гипотеза континуума не зависит от аксиом ZFC; они могут совпадать, а может и нет.

Континуум или бесконечность?

Помимо гипотезы континуума, большинство других вопросов о бесконечных множествах также оказываются независимыми от ZFC. Такая независимость иногда трактуется как нечто, не имеющее ответа, хотя большинство теоретиков считают эту точку зрения глубоким заблуждением.

По их мнению, у континуума есть точный размер; нам просто нужны новые инструменты логики, чтобы понять, что это такое. Новые инструменты придут в виде новых аксиом.

"Аксиомы не решают проблемы", - говорит Магидор, поэтому "мы должны расширить их до более богатой системы". Не хватает именно ZFC как средства достижения математической истины, а не самой истины.

Со времен Коэна теоретики множеств намеревались укрепить фундамент математики бесконечностей, пытаясь добавить в список ZFC дополнительную аксиому. Она должна осветить структуру бесконечных множеств, породить естественные теоремы, избежать фатальных противоречий и, конечно, разрешить вопрос Кантора.

Гёдель, со своей стороны, считал, что гипотеза континуума ложна - что существует больше чисел, чем предполагал Кантор. Он подозревал, что их ℵ2. Он предсказывал, как он писал в 1947 году, "что роль проблемы континуума в теории множеств будет такова, что она в конце концов приведет к открытию новых аксиом, которые позволят опровергнуть гипотезу Кантора".

Источник света

Со временем появились две конкурирующие аксиомы, которые вроде как отличались логической несовместимостью.

«Всегда существовало это напряжение», - говорит Шиндлер.

Чтобы разобраться, мы должны вернуться к работе Пола Коэна 1963 года, где он предложил технику форсирования. Начав с модели математической вселенной, которая включала ℵ1 целое, Коэн расширил континуум и включил в него новое целое за пределами модели. Математики вскоре обнаружили, что, в зависимости от специфики процедуры, форсирование позволяет добавлять сколько угодно чисел - ℵ2 или ℵ35, скажем. Помимо новых вещественных чисел, математики обобщили метод Коэна, чтобы придумать другие возможные объекты, однако некоторые из них оказались логически несовместимы друг с другом. В результате возникла мультивселенная вероятностных математических вселенных.

"Его метод создает двусмысленность в нашей вселенной множеств, - говорит Хью Вудин, теоретик множеств из Гарвардского университета. -Он создает облако виртуальных вселенных, и как я узнаю, в какой из них я нахожусь?".

Что было виртуальным, а что реальным? Какой из двух конфликтующих объектов, придуманных разными принудительными процедурами, должен быть разрешен? Было неясно, когда и даже существует ли объект, только потому, что его можно представить с помощью метода Коэна, на самом деле.

Математики пересмотрели понятие бесконечности

Чтобы решить эту проблему, математики выдвинули различные "аксиомы форсирования" - правила, которые устанавливали фактическое существование конкретных объектов, ставших возможными благодаря методу Коэна.

"Если вы можете представить, что объект существует, значит, он существует; это и есть руководящий интуитивный принцип, который приводит к вынуждающим аксиомам", - объясняет Магидор. В 1988 году он, Мэтью Форман и Сахарон Шелах довели постдекартовский принцип до логического завершения, огласив максимум Мартина, который гласит, что все, что вы можете представить себе с помощью любой процедуры форсирования, будет истинной математической сущностью, если эта процедура удовлетворяет определенному условию непротиворечивости.

При всей обширности максимума Мартина, для того чтобы одновременно разрешить все противоречия (удовлетворяя при этом условию постоянства), размер континуума ограничили лишь на консервативное ℵ2- одно кардинальное число больше, чем минимально возможное значение.

Помимо решения проблемы континуума, максимум Мартина оказался мощным инструментом для изучения свойств бесконечных множеств. Сторонники данного утверждают, что он способствует появлению множества всеобъемлющих утверждений и общих теорем. Напротив, предположение, что континуум имеет кардинальность ℵ1, как правило, дает больше исключительных случаев и препятствий для доказательств - "рай контрпримеров", по словам Магидора.

Максимум Мартина стал массово популярен как расширение ZFC. Но затем в 1990-х годах Вудин предложил другую аксиому, убивающую гипотезу континуума, но совершенно другим путем. Вудин назвал эту аксиому (*), произносится как "звезда", потому что она "похожа на яркий источник - источник структуры, источник света".

(*) касается модели вселенной множеств, которая удовлетворяет девяти аксиомам ZF плюс аксиоме детерминированности, а не аксиоме выбора. Детерминированность и выбор логически противоречат друг другу, поэтому (*) и максимум Мартина оказались непримиримыми. Но Вудин придумал принудительную процедуру, с помощью которой можно расширить модель математической вселенной в более крупную, которая согласуется с ZFC, и именно в этой вселенной аксиома (*) верна.

«Что делает (*) такой интересной, так это то, что она позволяет математикам утверждать: "Для всех X существует Y, такое, как Z", когда речь идет о свойствах множеств внутри одной области. Такие утверждения являются мощным способом математического рассуждения. Например: "Для всех множеств ℵ1 вещественных, существуют вещественные, не входящие в эти множества". Это отрицание гипотезы континуума. Таким образом, согласно (*), гипотеза Кантора ложна. Тот факт, что (*) позволяет математикам сделать этот вывод и утверждать другие свойства множеств вещественных чисел, делает ее "привлекательной гипотезой», - рассуждает Шиндлер.

Имея на руках две высокопродуктивные аксиомы, сторонники форсирования столкнулись с тревожным избытком. "И аксиома форсирования [максимум Мартина], и аксиома (*) прекрасны и ощущаются правильными и естественными", - продолжает Шиндлер, - так что "какую из них выбрать?".

Если бы аксиомы противоречили друг другу, то принятие одной из них означало бы пожертвовать другой, то есть решение могло бы показаться произвольным. "Вам пришлось бы придумывать причины, почему одна из них истинна, а другая ложна - или, может быть, обе должны быть ложными", - говорит Шиндлер.

Вместо этого его новая работа с Асперо показывает, что максимум Мартина++ (техническая вариация максимума Мартина) подразумевает (*).

Недостающее звено

В молодости Асперо и Шиндлер работали в одном из институтов Вены. Однажды Шиндлер прочитал рукопись, написанную, как обычно, от руки, теоретиком множеств Рональдом Дженсеном. В ней Дженсен изобрел технику, называемую L-форсированием. Шиндлера книга впечатлила, и он попросил своего студента попытаться развить этот метод. Пять лет спустя, в 2011 году, он рассказал о L-форсинге Асперо, который гостил у него в Мюнстере. Асперо сразу же предположил, что они могут могут получить (*) из максимума Мартина++.

В 2012 годк математики объявили, что у них есть необходимое доказательство. Вудин сразу же обнаружил ошибку, и дуэт отозвал статью. В последующие годы они часто возвращались к доказательству, но неизменно обнаруживалось, что не хватает одной ключевой идеи - "недостающего звена", по словам Асперо, в логической цепи, ведущей от максимума Мартина++ к (*).

Аналитический план заключался в разработке процедуры форсирования, подобной L-форсированию, с помощью которой можно было бы генерировать тип объекта, называемый свидетелем. Данный объект проверяет все утверждения в форме (*). До тех пор, пока процедура принуждения подчиняется требуемому условию непротиворечивости, максимум Мартина++ гласит, что свидетель, поскольку он может быть принужден к существованию, существует. Таким образом, из этого следует (*).

"Мы знали, как строить такие принуждения", - говорит Асперо, но они не могли понять, как гарантировать, что сама процедура принуждения будет удовлетворять ключевому требованию максимума Мартина. Опыт "вспышки", проведенный Асперо на машине в 2018 году, наконец, указал путь: необходимо разбить форсирование на рекурсивную последовательность форсирований, каждое из которых удовлетворяет необходимым условиям.

Другие звезды

Сходимость максимума Мартина++ и (*) закладывает прочный фундамент для башни бесконечностей, где кардинальность континуума равна ℵ2. "Вопрос в том, правда ли это?" - спрашивает Питер Келлнер, теоретик множеств из Гарварда.

По мнению Келлнера, знание того, что самая сильная аксиома принуждения подразумевает (*), может считаться доказательством как за, так и против нее. "На самом деле все зависит от того, как вы относитесь к (*)", - сожалеет математик.

Результат сходимости фокусирует внимание на правдоподобности (*), поскольку (*) позволяет математикам делать утверждения примера "для всех X существует Y", которые имеют последствия для свойств действительных чисел.

Несмотря на чрезвычайную полезность (*) в разрешении этих утверждений, казалось бы, без противоречий, Келлнер относится к числу тех, кто сомневается в аксиоме. Одно из ее следствий - зеркальное отражение структуры определенного большого класса множеств гораздо меньшим множеством - кажется ему странным.

Примечательно, что человек, который был наиболее воодушевлен правоподобностью (*), в конечном итоге настроен против нее. "Меня считают предателем", - утверждает Вудин.

25 лет назад, когда возник вопрос (*), он считал гипотезу континуума ложной, а значит, (*) - источником света. Но около десяти лет назад неожиданно изменил свое мнение. Теперь он считает, что континуум имеет кардинальность ℵ1 и что (*) и форсинг "обречены".

Вудин назвал доказательство Асперо и Шиндлера "фантастическим результатом", который "заслуживает быть в "Анналах" - "Анналы математики" считаются лучшим математическим журналом - и признал, что такого рода результат сходимости "обычно принимается за доказательство некой истины". Но он в нее не верит. Есть проблема, о которой упомянул Кёлльнер, и еще более серьезная проблема, которая обнаружилась благодаря собственному опыту 2019 года, вскоре после прочтения препринта статьи Асперо и Шиндлера.

Вудин также поставил более сильные варианты, называемые (*)+ и (*)++, применимые к полному мощному множеству (множеству всех подмножеств) вещественных чисел.

Известно, что в различных моделях математической вселенной, если не в целом, (*)+ противоречит максимуму Мартина. В новом доказательстве, которым он начал делиться с математиками в мае, Вудин показал, что (*)+ и (*)++ эквивалентны, а значит, (*)++ противоречит максимуму Мартина в различных моделях.

(*)+ и (*)++ намного превосходят (*) по одной причине: они позволяют математикам делать утверждения вида "существует множество вещественных чисел ..." и таким образом описывать и анализировать свойства любых и всех множеств вещественных чисел. (*) не дает такой "экзистенциальной теории" множеств вещественных чисел. А поскольку максимум Мартина, похоже, противоречит (*)+ и (*)++, кажется, что экзистенциальные утверждения о множествах действительных не могут быть возможны в рамках максимума Мартина.

Для Вудина это решающий фактор: "Это означает, что все обречено".

Другие основные участники все еще переваривают доказательство Вудина. Но некоторые из них подчеркнули, что его аргументы носят предположительный характер. Даже Вудин признает, что неожиданное открытие может изменить картину (и его мнение), как это уже случалось ранее.

Многие в сообществе ожидают результатов попытки Вудина доказать гипотезу "конечного L": то есть существование всеобъемлющего обобщения модельной вселенной множеств Гёделя. Если конечное L существует - а у Вудина есть все основания думать, что оно существует, и он уже на 400 страницах пытается его доказать - очевидно, что "аксиома мечты", которую нужно добавить в ZFC, должна быть аксиомой конечного L, или утверждением, что конечное L - это вселенная множеств. И в предельном L Кантор прав: континуум имеет кардинальность ℵ1. Если доказательство сработает, то аксиома конечного L станет если не очевидным выбором расширения для ZFC, то, по крайней мере, грозным соперником максимы Мартина.

С тех пор, как Гёдель и Коэн установили независимость гипотезы континуума от ZFC, математика бесконечности стала историей приключений, где теоретики множеств могут довести число чисел до любого уровня - ℵ35, или ℵ1000, скажем - и исследовать последствия. Но поскольку результат Асперо и Шиндлера убедительно указывает на ℵ2, а Вудин приводит доводы в пользу ℵ1, установилась четкая дихотомия, без абсолютного победителя. Большинство теоретиков множеств хотели бы выйти из математической мультивселенной и объединиться в картину канторовского рая, но ради чего заново придумывать бога?

Ряд ученых вообще предполагает, что мы вернемся в этот "долапсарианский мир".

"Гильберт, когда произносил свою речь, сказал, что человеческое достоинство зависит от того, сможем ли мы решать математические задачи по принципу "да или нет", - заявляет Джульет Кеннеди, логический математик и философ из университета Хельсинки. - Это был вопрос об искуплении человечества, о том, является ли математика тем, чем мы всегда ее считали: установлением истины. Не просто Эта Истина, а Та Истина. Не просто возможности. Нет. Континуум размерен, и точка".