Головна Математика Що таке час у теорії відносності? Є «плин часу»

Нова математика для фізики

Усім відомий вислів "час тече". Але сама по собі течія часу означає щось між фіксованим минулим і відкритим майбутнім, званим теперішнім, хоча це теперішнє ніде не зустрічається в існуючих законах фізики.

Наприклад, у теорії відносності Альберта Ейнштейна час сплетено з трьома вимірами простору, утворюючи вигнутий чотиривимірний просторово-часовий континуум - "блоковий всесвіт", що охоплює все минуле, сьогодення і майбутнє.

Рівняння Ейнштейна описують всесвіт начебто повністю, але без від самого початку; ми приблизно уявляємо собі те, що настало пізніше Великого Вибуху за умови, що "біг-бум" був, а це не очевидно. Єдине, що нам залишається - "вірити фізикам", про що великий фізик писав у 1955 році, за кілька тижнів до його смерті. За його словами, "відмінності між минулим, сьогоденням і майбутнім - тільки вперто наполеглива ілюзія".

Позачасовий погляд на реальність, запропонований Ейнштейном, залишається популярним і сьогодні.

"Більшість фізиків вірять в уявлення про блочний всесвіт, тому що воно передбачається загальною теорією відносності", - каже Марина Кортес, космолог із Лісабонського університету.

Однак, за її словами, "якщо когось закликає замислитися над тим, що означає блоковий всесвіт, починає сумніватися в самих постулатах".

Фізики, які ретельно розмірковують про час, вказують на проблеми, пов'язані з квантовою механікою, законами, що описують імовірнісну поведінку частинок.

У квантовому масштабі відбуваються незворотні зміни, які відрізняють минуле від майбутнього: вилучена з реальності "ідеальна" частка підтримує одночасні квантові стани, доки її "вимірюють", після чого вона набуває одного з інших станів. Тобто вимірювання в принципі неможливе, оскільки не накопичується об'єктивний статистичний матеріал.

За цією логікою частинка в конкретному стані живе стільки, скільки ми її вимірюємо. Іншими словами, будь-які результати вимірювань є випадковими і непередбачуваними, навіть якщо поведінка частинок у сукупності дотримуються адаптивних статистичних методик. Це явна невідповідність між природою часу в квантовій механіці і тим, як час функціонує в теорії відносності.

У 2019 році швейцарський фізик Ніколас Гайсін опублікував чотири статті, в яких намагається розсіяти туман, що оточує поняття часу. З його точки зору, проблема завжди була математичною. Він стверджує, що час загалом і час, який ми називаємо теперішнім, легко прописати математичною мовою, яку називають інтуїціоністською математикою, що відкидає існування чисел із нескінченним числом цифр.

Коли інтуїціоністська математика використовується для дескрипції еволюції фізичних систем, "час дійсно йде, створюється нова інформація". Ба більше, за такого формалізму строгий детермінізм, що випливає з рівнянь Ейнштейна, поступається місцем квантовій непередбачуваності. Якщо числа кінцеві й обмежені у своїй точності, то сама природа є неточною і, отже, непередбачуваною.

Фізики все ще перетравлюють роботу Гайсина - не часто хтось намагається переформулювати закони фізики новою математичною мовою. Багато хто з тих, хто використовував його аргументи, думають, що вони можуть потенційно подолати концептуальний розрив між детермінізмом загальної теорії відносності та концептом випадковості в квантовому масштабі.

За Гайсіном, важливо переформулювати закони фізики, які визначають майбутнє як "відкрите", а теперішнє як "дуже "реальне", тому що "час минає", але "час на землі".

Інформація та час

Сам 67-річний Гайсин насамперед експериментатор. Він керує лабораторією в Університеті Женеви, яка провела новаторські експерименти в галузі квантового зв'язку і квантової криптографії. Він також є кросовером, який відомий своїми теоретичними ідеями, що стосуються квантової невизначеності та нелокальності.

Як приклад: ми не можемо точно передбачити, якою буде погода через тиждень. Але оскільки йдеться про шкільну (читай - схоластичну) науку та освітній процес, підручники кажуть нам, що ми можемо, в принципі, прогнозувати погоду на тиждень.

У нас же є купа показників: рух хмар, порив вітру, помах крила метелика... Однак ми не можемо верифікувати як самих показників, так і гарантувати точність вимірювань. Усе гранично просто: ці вимірювання демонструють вихідні стани в даний момент часу (вимірювання), хоча реальна фізика погоди розгортається як годинник, у часі. Це динамічний процес, де методика екстраполяції не працює.

 

Тепер подивимося, як ця ідея поширюється на наше розуміння всесвіту. В апріорі описаному світі, в якому час нібито тільки розгортається, ми визначаємо деяку "точку відліку", причому початковий стан кожної окремої частки кодуємо нескінченним числом цифр. Інакше в прогнозованому майбутньому настане момент, коли всесвіт опиниться без часу, відбудеться колапс.

Але інформація - фізична за своєю природою. Сучасні дослідження показують, що вона потребує енергії та займає певний простір. Відомо, що будь-який обсяг простору має обмежену інформаційну "ємність". Гайсин упевнений, що початкові умови всесвіту вимагають занадто багато інформації, поміщеної в гранично стислу точку.

"Реальне число з нескінченними цифрами не може бути фізично значущим", - вказує фізик. Блоковий всесвіт, який неявно передбачає існування нескінченної інформації, має розпастися.

Він шукає новий спосіб опису часу у фізиці, який не передбачає нескінченно точного знання початкових умов.

Логіка Часу

Сучасне визнання того, що існує континуум дійсних чисел, більшість з яких має нескінченне число цифр після коми, пройшло через запеклі дебати перших десятиліть 20-го століття. Девід Гільберт, великий німецький математик, підтримав стандартне в даний час уявлення про те, що реальні числа існують і ними можна маніпулювати як усталеними сутностями.

Проти такого розуміння числа виступили "інтуїціоністи" на чолі з відомим голландським топологом Лей Дж. Брауером, який розглядав математику як конструкт. Брауер наполягав на тому, що числа мають конструктивістську природу, їх розраховують або визначають випадковим чином, по одному. Числа кінцеві, наполягав Брауер, і вони також є процесами: можуть ставати більш точними, коли більше цифр проявляється в послідовності, що створюється довільним чином.

 

Таким чином підхід інтуїціоністів передбачає деяке переосмислення математичних практик і тверджень, які можна вважати вірними. Найбільш радикальне відхилення від стандартної математики полягає в тому, що закон виключеного середнього не виконується. Нагадаємо, що цей закон говорить: або твердження вірне, або його заперечення істинне. Але в рамках математики Брауера твердження про числа не можуть бути ні істинними, ні хибними в даний момент часу, оскільки точне значення числа ще не розкрилося.

Немає жодної різниці порівняно зі стандартною математикою, коли йдеться про числа, такі як 4 або ½, відношення довжини окружності до її діаметра. Навіть незважаючи на те, що pi саме по собі ірраціональне, без кінцевого десяткового розкладання, існує алгоритм для генерації його десяткового значення, що робить його такою ж детермінантою, як і число типу ½.

Але розглянемо інше число х, яке знаходиться в полі ½.

Скажімо, значення x дорівнює 0,4999, де додаткові цифри розгортаються в послідовності якогось вибору. Можливо, послідовність дев'яток триватиме вічно, і в цьому разі x рівнозначне ½. (Факт, що 0,4999... = 0,5, також справедливий у стандартній математиці, оскільки x відрізняється від ½ менше, ніж будь-яка кінцева послідовність у різниці значень, і такою послідовністю можна знехтувати).

Але якщо в якийсь момент у розглянутій послідовності в майбутньому з'явиться цифра, відмінна від 9 - якщо, скажімо, значення x становить 4.9999999999999999997... - тоді незалежно від того, що станеться після цього, x вважається меншим за ½. Але до того, як це станеться, "ми не знаємо, чи з'явиться коли-небудь цифра, відмінна від 9", - пояснює Карл Посі, філософ математики в Єврейському університеті в Єрусалимі та провідний експерт з інтуїціоністської математики.

"У той час як ми розглядаємо х, ми не можемо сказати, що х менше ½, і при цьому ми не можемо сказати, що х дорівнює ½". Речення "х дорівнює ½" не відповідає дійсності, так само як і його заперечення. Закон виключеного середнього не має сенсу.

Крім того, континуум цифр не може бути чітко розділений на дві частини, що складаються з усіх чисел, менших за ½ і тих, які більші або дорівнюють ½. "Якщо ви спробуєте розрізати континуум навпіл, це число x прилипатиме до ножа, і воно не буде ні ліворуч, ні праворуч", - пояснює Позі.

Колись Гільберт порівняв відмову від закону виключеного середнього із "забороною боксерам використовувати кулаки", оскільки цей принцип лежить в основі багатьох математичних висновків. І хоча інтуїціоністський структуралізм Брауера зачаровував Курта Геделя і Германа Вейля, стандартна математика з її реальними числами домінує через простоту використання. А не тому, що вона правильна чи не правильна.

Розкриття часу

Гайсин уперше зіткнувся з інтуїціоністською математикою на одному з семінарів у травні минулого року, де був присутній Позі. Гайсин швидко побачив зв'язок між невикористаними десятковими і фізичним уявленням про час у всесвіті. Здавалося, матеріалізовані цифри відповідають послідовності моментів, що визначають сьогодення, коли невизначене майбутнє стає конкретною реальністю. Так з'являються недетерміновані судження про майбутнє.

У роботі, опублікованій у грудні минулого року в Physical Review, Гайсін і його співробітник Флавіо Дель Санто використовували інтуїціоністську математику, щоб сформулювати альтернативну версію класичної механіки, яка робить ті самі прогнози, що й стандартні рівняння, але надає подіям невизначеності, створюючи картину Всесвіту, де час поступово розгортається.

 

У цьому Всесвіті світ недетермінований, майбутнє відкрите. Час, пояснює Гайсин, "не розгортається, як кіно в кіно. Це справді творче розгортання. Нові цифри створюються з плином часу".

Фей Даукер, теоретик квантової гравітації в лондонському Імперському коледжі, "дуже симпатизує" аргументам Гайсіна, оскільки "він на боці тих із нас, хто вважає, що фізика не відповідає нашому досвіду, і тому їй (фізиці - Alter Science) чогось не вистачає".

Даукер згодна з тим, що математичні мови формують наше розуміння часу у фізиці і що стандартна гільбертова математика, яка розглядає дійсні числа як закінчені сутності, "безумовно, є статичною... Вона поза часом, і це, безумовно, є обмеженням для нас, фізиків, якщо ми намагаємося включити щось таке ж динамічне, як наш досвід із плином часу".

Для таких фізиків, як Даукер, які зацікавлені в пошуку зв'язку між гравітацією і квантовою механікою, одним із найважливіших наслідків нового погляду на час є поєднання, здавалося б, несумісних поглядів на світ. Класична механіка в деякому сенсі ближча до квантової теорії, ніж ми думали раніше.

Квантова невизначеність і час

Якщо фізики збираються розгадати таємницю часу, їм доведеться стикатися не тільки з просторово-часовим континуумом Ейнштейна, а й з усвідомленням того, що Всесвіт іманентно випадковий і невизначений.

Квантова теорія малює зовсім іншу картину часу, ніж теорія Ейнштейна.

"Наші дві великі теорії, квантова теорія і загальна теорія відносності, продукують різні логіки", - каже Реннер. Він і кілька інших фізиків вважають, що ця невідповідність лежить в основі боротьби за методологію опису Великого Вибуху.

Час у квантовій механіці - жорсткий, він не переплітається з простором, як у теорії відносності. Крім того, вимірювання квантових систем "роблять час у квантовій механіці незворотнім, тоді як у теорії відносності він повністю оборотний", - каже Реннер. - "Тож час відіграє роль, яку ми досі не розуміємо".

Аркани-Хамед

Багато фізиків використовують квантову теорію для обґрунтування недетермінованого всесвіту.

"У вас є два атоми урану: один із них розпадається за 500 років, а інший - за 1000 років, і все ж вони повністю ідентичні в усіх відношеннях", - пояснює Німа Аркані-Хамед, фізик із Прінстонського інституту. - "У всіх значущих сенсах всесвіт не є детермінованим".

Проте інші популярні інтерпретації квантової механіки, включно з багатосвітовою інтерпретацією, дають змогу підтримувати класичне, детерміністське уявлення про час. Ці теорії визначають квантові події як гру зумовленої реальності. Тут кожен квантовий вимір розділяє світ на безліч гілок, встановлених заздалегідь.

 

Ідеї Гайсина пропонують інший шлях. Замість того щоб намагатися зробити квантову механіку детерміністською теорією, він сподівається уявити загальну, недетерміновану мову для класичної та квантової фізики. Але цей підхід суттєво відрізняється від стандартної квантової механіки.

У квантовій механіці інформація може бути перемішана або перемішана, але ніколи не може бути створена або знищена. Проте, якщо значення чисел, що визначають стан всесвіту, з часом зростають, як припускає Гайсин, то з'являється нова інформація. За його гіпотезою, у природі інформація зберігається тому, що "в процесі вимірювання створюється явно нова інформація". І уточнює: "Я кажу, що нам потрібен інший спосіб поглянути на всі наші ідеї".

Джонатан Оппенгейм

Джонатан Оппенгейм, фізик-теоретик з Університетського коледжу Лондона, зі свого боку, вважає, що інформація дійсно втрачається. Він не знає, чи буде інтуїціонізм Брауера ключем до того, щоб описати процес "анігіляції", але є підстави вважати, що створення і знищення інформації може бути тісно пов'язане з часом.

"Інформація знищується в міру просування вперед у часі; вона не руйнується під час переміщення в космосі", - наполягає Оппенгейм. Виміри, що складають блоковий всесвіт Ейнштейна, сильно відрізняються один від одного.

Майбутнє Часу

Ідеї Гайсина викликали низку відгуків у інших теоретиків, у кожного з яких були свої припущення про майбутній час.

Кілька вчених погодилися з тим, що реальні числа не здаються фізично реальними, і що фізикам потрібен новий формалізм, який не залежить від дослідників. Ахмед Альмейрі, фізик-теоретик з Інституту перспективних досліджень, який вивчає чорні діри і квантову гравітацію, впевнений, що квантова механіка "виключає існування континууму". На його думку, вона об'єднує енергію та інші величини в "пакети", які більше схожі на цілі числа, а не на континуум як такий.

 

Санду Попеску, фізик із Брістольського університету, який часто листується з Гайсином, погодився з не-детермінізмом останнього, але не впевнений, що інтуїціоністська математика необхідна. Попеску заперечує проти ідеї вважати дійсні числа інформацією.

Аркані-Хамед визнав використання інтуїціоністської математики цікавим і потенційно актуальним для опису чорних дір і Великого вибуху, коли гравітація і квантова механіка вступають у явний конфлікт.

"Ці питання - про числа як про кінцеві, або про суттєві речі, або про те, чи існує нескінченно багато цифр, або цифри виникають у міру руху. Вони можуть бути пов'язані з тим, як ми маємо формувати космологію, як застосовувати квантову механіку".

Аркані-Хамед також вбачає необхідність у новій математичній мові, яка могла б "звільнити" фізиків від нескінченної точності і дозволити їм "говорити про речі, які трохи розмиті в часі".

Сам Гайсин сподівається знайти спосіб переформулювати теорію відносності та квантову механіку в термінах кінцевої, нечіткої інтуїціоністської математики, як він це зробив із ньютонівською механікою.

Однак є "проблема хвоста": спробуйте локалізувати квантову систему, наприклад, електрон на Місяці. Стандартна математика каже, що ймовірність виявлення такого електрона в земних умовах нескінченно наближена до нуля. "Хвіст" математичної функції, що представляє положення частинки, "стає експоненціально малим, але ненульовим".

Гайсин задається питанням: Яку реальність ми повинні приписати надмалому числу? Більшість експериментаторів сказали б: "Постав нуль і перестань ставити дурні запитання". Але це не означає відсутність фізичної реальності як такої.

Тепер усе залежить від того, яку математику використовують фізики й астрономи. Реальне в класичній математиці в інтуїціоністській версії може бути відсутнім. І навпаки; а може і співіснувати, але в різних тотожностях, імовірностях і множинах. Електрон знаходиться на Місяці, але його шанс виявити на Землі цілком дорівнює нулю, якщо ми не розуміємо, як виміряти його топологію. Не кажучи вже про "побачити".

Джерело: Quantum Magazine