Меню

Равенство или эквивалентность?

Знак равенства является основой математики . Кажется, что это совершенно фундаментальное и неоспоримое утверждение. Как и тождественность равенства и математического взгляда на окружающий мир.

Но уже кристаллизуется целое сообщество математиков, которое рассматривает знак равенства как первоначальную ошибку "точных наук". По их мнению, именно "=" априори задает непреодолимые сложности в том, как соотносятся величины: на малом, «повседневном» уровень «равенство» еще работает, а вот когда задаются сложные множества или величины, тогда возникают проблемы.

Поэтому «отступники» хотят переформулировать математику на более свободном языке эквивалентности. «Мы придумали это понятие равенства» - убежден Джонатан Кэмпбелл из Университета Дьюка, - На самом деле мы должны оперировать понятием «эквивалентность».

Самая выдающаяся фигура в этом сообществе - Джейкоб Лурье . В июле этого года 41-летний математик сменил свой штатный пост в Гарвардском университете на должность преподавателя в Институте перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси, где проживают многие из самых почитаемых математиков в мире.

Джейсон Лурье

Идеи Лурье распространяются в масштабе, редко встречающемся в любой области. Посредством своих книг, которые представляют собой тысячи плотных технических страниц, он разработал совершенно иной способ интерпретации базовых понятий в математике, отказываясь от знака равенства.

Лурье опубликовал свою первую книгу « Теория высших топосов» в 2009 году. Том из 944 страниц служит руководством для понятийного транзита устоявшиеся области математики на новый язык «бесконечных категорий».

С тех пор идеи Лурье нашли широкий отклик среди ученых, связанных с математическими дисциплинами. Многие математики считают их незаменимыми для формирования будущего поля практических исследований. Тем не менее, распространение категорий бесконечности также выявило растущие боли, которым подвергается такая математика всякий раз, когда она пытается поглотить большую новую идею, которая бросает вызов смыслу ее предшествующего существования.

«В математическом сообществе доминирует соответствующий уровень консервативности», - говорит Кларк Барвик из Эдинбургского университета. - Я просто не думаю, что вы можете ожидать, что какая-то группа математиков примет новый инструмент, не получив убедительных причин для этого».

Хотя многие математики приняли категории бесконечности, относительно немногие полностью прочитали длинные, очень абстрактные тексты Лурье. В результате некоторые работы, основанные на его идеях, менее строгие, чем обычно принято в математике. Математики по-прежнему сталкиваются как с невероятными масштабами идей Лурье, так и с тем уникальным способом, которым они были представлены.

Переупаковка в более тривиальные формы, дабы сделать их доступными для большего числа математиков, также негативно сказывается на понимании исходных точек предлагаемой парадигмы. Яркая математическая революция превращается в обыденный закон. Тем не менее они строят будущее математики, основанное не на равенстве, а на эквивалентности.

Башни Эквивалентности

Математическое равенство, возможно, может показаться наименее спорным из предлагаемых идей. Две бусинки плюс одна бусина равняется трем. Что еще можно сказать по этому поводу? Но самые простые идеи могут быть самыми коварными. С конца 19-го века математика строилась на идее множеств. Теория множеств задает правила или аксиомы для построения и манипулирования этими множествами.

Например, одна из этих аксиом гласит, что вы можете добавить к набору с двумя элементами еще набор с одним элементом, чтобы создать новое множество с тремя элементами: 2 + 1 = 3. На формальном уровне способ показать, что две величины равны, состоит в их сопряжении: сопоставьте один шарик с правой стороны знака равенства с аналогичным шариком с левой стороны. Обратите внимание, что после того, как сложение произведено, бусин больше не осталось.

Теория множеств признает, что два набора с тремя объектами в каждой паре точно, но она не легко воспринимает разные способы создания пар. Вы можете соединить первый шарик справа с первым слева или первый справа со вторым слева и т. д. (всего существует шесть возможных сочетаний). Сказать, что два плюс один равно трем, и оставить все как есть, значит упускать из виду все разные способы, которым они тождественны.

«Проблема в том, что есть много способов соединиться, - поясняет Кэмпбелл. - Мы забыли о них, когда говорим «равно».

Эквивалентность или равенство?

Вот тут-то и закрадывается эквивалентность. Хотя равенство - это строгие отношения - либо две вещи равны, либо нет - эквивалентность вероятностна в разных формах. Когда вы можете точно сопоставить каждый элемент одного набора с элементом другого, тогда мы говорим о сильной форме эквивалентности.

Но в области математики, называемой теорией гомотопий, например, две формы (или геометрические пространства) эквивалентны, если одна из них растягивается или сжимается в другую, не разрезая и не разрывая ее. С точки зрения теории гомотопий, плоский диск и одна точка в пространстве эквивалентны - вы можете сжать диск до точки. Однако невозможно соединить точки на диске с точками в точке.

В конце концов, на диске бесконечное количество точек, а точка - только одна. С середины 20-го века математики пытались разработать альтернативу теории множеств, при помощи которой можно производить расчеты на основе принципа эквивалентности. В 1945 году математики Сэмюэль Эйленберг и Сондерс Мак Лейн представили новый фундаментальный объект, в котором производилась эквивалентность. Они назвали этот объект «категорией». Категории могут быть заполнены чем угодно. У вас может быть категория млекопитающих, которая вбирает в себя всех обладающих шерстью, теплокровных, кормящих молоком существ в мире.

Или вы можете создавать категории математических объектов: множества, геометрические пространства или системы счисления. Категория - это набор с дополнительными метаданными: описание всех способов, которыми два объекта взаимосвязаны и включает описание всех способов получения эквивалентности. Геометрические категории упрощаются до вероятного комбинирования точек. Представьте себе, например, поверхность земного шара. Здесь каждая точка представляет собой треугольник другого типа. Пути между этими точками выражают отношения эквивалентности между объектами. С точки зрения теории категорий, вы забываете о явном способе описания какого-либо одного объекта и вместо этого сосредотачиваетесь на топологии отдельного класса объектов.

Множества и топосы

«Есть много вещей, о которых мы думаем как о вещах, когда они на самом деле являются отношениями между вещами», - утверждает математик Ирина Захаревич. - Фраза «мой муж» мы рассматриваем как объект, но это и отношение ко мне». . Версия категорий Эйленберга и Мак Лейна хорошо подходила для отслеживания сильных форм эквивалентности. Но во второй половине 20-го века математики чаще концентрировались на описании слабых эквивалентностей, таких, как гомотопии. «По мере того, как математика становится все более тонкой, неизбежно происходит прогресс в изучении более тонких понятий тождественности», - говорит Эмили Рил, математик из Университета Джона Хопкинса.

В этих более тонких понятиях эквивалентности количество информации о том, как связаны между собой два разных объекта, резко возрастает. Элементарные категории Эйленберга и Мак Лейна не были предназначены для подобного рода операций. Чтобы увидеть, как увеличивается объем информации, сначала вспомните нашу сферу, которая представляет собой множество треугольников. Два треугольника гомотопически эквивалентны, если они взаимодеформированы. Две точки на поверхности гомотопически эквивалентны, если есть путь, связывающий одну с другой. Изучая гомотопические пути между точками на поверхности, получаем различные способы взаимосвязи треугольников, представленных этими точками.

Точка эквивалентности

Но недостаточно сказать, что две точки взаимосвязаны множествами равных путей. Нужно еще решить вопрос об эквивалентности между всеми этими путями. Таким образом, в дополнение к вопросу о том, эквивалентны ли две точки, вы теперь спрашиваете, эквивалентны ли два пути, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же паре точек, то есть существует ли доминирующий путь между этими путями. Этот путь между путями принимает форму диска, граница которого и определяется двумя путями. Также предлагается иной сценарий.

путь эквивалентности

Два диска эквивалентны, если между ними есть путь, и этот путь примет форму трехмерного объекта. Эти трехмерные объекты сами могут быть связаны четырехмерными путями (путь между двумя объектами всегда имеет на одно измерение больше, чем сами объекты). Уточним, что предлагаемая модель не учитывает фактор времени, что коренным образом упрощает задачу.

В конечном счете, вы построите бесконечную башню эквивалентностей между эквивалентностями. Только в таком случае возведенное здание создает полное представление о любых объектах, выбранных для представления в качестве точек на этой сфере. «Это просто сфера, но, оказывается, чтобы понять форму сферы, нужно в некотором смысле выйти на бесконечность», - объясняет Дэвид Бен-Цви из Техасского университета в Остине.

Переписывание математики

Первая работа Джейкоба Лурье по теории категорий бесконечности оказалась провальной. 5 июня 2003 года 25-летний парень разместил 60-страничный документ «О бесконечности топосов » на arXiv.org. Там же он обозначил новые правила, по которым математики могут работать с категориями бесконечности. Эта первая статья была плохо воспринята. Вскоре после ее публикации прочтения Питер Мэй , математик из Чикагского университета, отправил электронное письмо научному руководителю Лурье Майклу Хопкинсу, где говорилось, что хотя в статье молодого ученого были интересные идеи, но сама теория предварительна и требует большей строгости.

Неизвестно, воспринял ли Лурье письмо Мэй как вызов или самостоятельно развивал свои мысли. Ясно только, что после получения письма Лурье выпустил несколько книг, которые легли в основу целого математического движения. В 2006 году Лурье опубликовал на arXiv.org проект по теории высших топосов. В этой гигантской работе он описал модель, необходимую для замены теории множеств новой математической основой, основанной на бесконечных категориях. Затем в 2011 году Лурье продолжил другую работу, заново перезапускающую алгебру.

Последняя предоставляет собой прекрасный набор формальных правил для манипулирования уравнениями. Математики постоянно используют эти правила для доказательства новых теорем. Но алгебра предлагает числовую эквилибристику, ограниченную знаком равенства. Если удалить схоластику равенства на концепцию эквивалентности, большинство простых математических операций усложнится. К примеру, первые правила алгебры, которые дети учат в школе: сумма или произведение трех или более чисел не зависит от того, как сгруппированы числа: 2 × (3 × 4) = ( 2 × 3) × 4.

Доказательство того, что ассоциативное свойство выполняется для любого списка из трех или более чисел, легко, когда вы работаете с равенством. Но сложно, когда оперируете понятиями эквивалентности. Особенно когда вы переходите к более тонким понятиям эквивалентности с их бесконечными башнями путей между путями, даже простое правило, такое как ассоциативное свойство, превращается в непроходимый лес.

Карта ассоциаций

В « Высшей алгебре» , последняя версия которой насчитывает 1553 страницы, Лурье разработал версию ассоциативного свойства для категорий бесконечности, а также многие другие алгебраические теоремы, которые в совокупности создали основу для математики эквивалентности. Однако революции требуют времени, а, как показывают книги Лурье, последующие годы могут быть хаотичными для «привычно» математики.

Переучиться

Ясное мышление — устойчивый атрибут математиков: доказательства верны или нет, идея работает или нет. Но профессорские и иные должности занимают люди, и как раз они реагируют на новые идеи -субъективно, эмоционально и заинтересовано. В этом отношении работа Лурье представляла большую проблему. В глубине души возникало подозрение об интеллектуальной провокации. Дескать, вот он лучший способ уделать математику и математиков. Но теория пока рассчитана исключительно на методологов.

Если математическая революция произойдет в ближайшем будущем, то перестройка всей конструкции займет очень продолжительное время — от переписывания всей математики до обновления физики и астрономии, от школы до академических методов обучения. Возможно, хотел того Лурье или нет, но он запустил каток, способный раздавить в ноль почти всю историю так называемых точных наук. Работу Лурье пока сложно усвоить «в спокойной обстановке». Объем материала на столько большой, что математики должны потратить годы на обучение, не говоря уже о переучивании.

Неподъемная задача для ученых среднего и рискованная для аспирантов, у которых есть всего несколько лет, чтобы получить результаты, которые помогут им найти приличную работу. Как и многие новые изобретения, теория высших топосов требует, чтобы математики постоянно соотносили свои выводы с методологией, которая заставляет работать теорию.

Это все равно что заставить каждого 16-летнего сначала научиться восстанавливать двигатель, а потом выдать права. Только вот беда — права придется также переделывать, вписывать принципиально новые данные, о которых, в свою очередь, мало что известно вследствие предельной абстрактности трудов Лурье. Тем не менее, вызов традиционной математике брошен. И, похоже, академическая наука приняла вызов. Хотя в профессорских кабинетах не совсем четко понимают, как теория высших топосов отразится на привычной физике, химии, астрономии, геологии.

Да и зачем им думать? Они книг не читают.

Добавил:Всеволод Гордиенко Дата:2019-10-18 Раздел:Математика