Меню

Новая математика для физики

Всем известно выражение «время течет». Но само по себе течение времени означает нечто между фиксированным прошлым и открытым будущим, называемым настоящим, хотя это настоящее нигде не встречается в существующих законах физики.

Например, в теории относительности Альберта Эйнштейна время сплетено с тремя измерениями пространства, образуя изогнутый четырехмерный пространственно-временной континуум - «блочную вселенную», охватывающую все прошлое, настоящее и будущее. Уравнения Эйнштейна описывают вселенную вроде как полностью, но без с самого начала; мы примерно представляем себе то, что наступило позже Большого Взрыва при условии, что «биг-бум» был, а это не очевидно. Единственное, что нам остается - «верить физикам», о чем великий физик писал в 1955 году, за несколько недель до его смерти. По его словам, «различия между прошлым, настоящим и будущим - только упрямо настойчивая иллюзия».

Вневременной взгляд на реальность, предложенный Эйнштейном, остается популярным и сегодня.

«Большинство физиков верят в представление о блочной вселенной, потому что оно предсказывается общей теорией относительности», - говорит Марина Кортес, космолог из Лиссабонского университета.

Однако, по ее словам, «если кого-то призывает задуматься о том, что означает блочная вселенная, начинает сомневаться в самих постулатах».

Физики, которые тщательно размышляют о времени, указывают на проблемы, связанные с квантовой механикой, законами, описывающими вероятностное поведение частиц. В квантовом масштабе происходят необратимые изменения, которые отличают прошлое от будущего: изъятая из реальности «идеальная» частица поддерживает одновременные квантовые состояния, пока она «измеряется», после чего она принимает одно из других состояний. То есть измерение в принципе невозможно, так как не накапливается объективный статистический материал. По этой логике частица в конкретном состоянии живет столько, сколько мы ее измеряем. Иными словами, любые результаты измерений являются случайными и непредсказуемыми, даже если поведение частиц в совокупности следуют адаптивным статистическим методикам. Это явное несоответствие между природой времени в квантовой механике и тем, как время функционирует в теории относительности.

Николас ГайсинВ 2019 году швейцарский физик Николас Гайсин опубликовал четыре статьи, в которых пытается рассеять туман, окружающий понятие времени. С его точки зрения, проблема всегда была математической. Он утверждает, что время в целом и время, которое мы называем настоящим, легко прописать на математическом языке, называемом интуиционистской математикой, которая отвергает существование чисел с бесконечным числом цифр. Когда интуиционистская математика используется для дескрипции эволюции физических систем, «время действительно уходит, создается новая информация». Более того, при таком формализме строгий детерминизм, вытекающий из уравнений Эйнштейна, уступает место квантовой непредсказуемости. Если числа конечны и ограничены в своей точности, то сама природа является неточной и, следовательно, непредсказуемой.

Физики все еще переваривают работу Гайсина - не часто кто-то пытается переформулировать законы физики на новом математическом языке. Многие из тех, кто использовал его аргументы, думают, что они могут потенциально преодолеть концептуальный разрыв между детерминизмом общей теории относительности и концептом случайности в квантовом масштабе.

По Гайсину, важно переформулировать законы физики, которые определяют будущее как «открытое», а настоящее как «очень «реальное», потому что «время проходит», но «время на земле».

Информация и время

Сам 67-летний Гайсин прежде всего экспериментатор. Он руководит лабораторией в Университете Женевы, которая провела новаторские эксперименты в области квантовой связи и квантовой криптографии. Он также является кроссовером, который известен своими теоретическими идеями, касающихся квантовой неопределенности и нелокальности.

Как пример: мы не можем точно предсказать, какой будет погода через неделю. Но поскольку речь идет о школьной (читай — схоластической) науке и образовательном процессе, учебники говорят нам, что мы можем, в принципе, прогнозировать погоду на неделю. У нас же есть куча показателей: движение облаков, порыв ветра, взмах крыла бабочки… Однако мы не можем верифицировать как самих показателей, так и гарантировать точность измерений. Все предельно просто: эти измерения демонстрируют исходные состояния в данный момент времени (измерения), хотя реальная физика погоды разворачивается как часы, во времени. Это динамический процесс, где методика экстраполяции не работает.

Теперь посмотрим, как эта идея распространяется на наше понимание вселенной. В априори описанном мире, в котором время якобы только разворачивается, мы определяем некоторую «точку отсчета», причем начальное состояние каждой отдельной частицы кодируем бесконечным числом цифр. Иначе в прогнозируемом будущем наступит момент, когда вселенная окажется без времени, произойдет коллапс.

Но информация — физическая по своей природе. Современные исследования показывают, что она требует энергии и занимает определенное пространство. Известно, что любой объем пространства имеет ограниченную информационную «емкость». Гайсин уверен, что начальные условия вселенной требуют слишком много информации, помещенной в предельно сжатую точку.

«Реальное число с бесконечными цифрами не может быть физически значимым», - указывает физик. Блочная вселенная, которая неявно предполагает существование бесконечной информации, должна распасться.

Он ищет новый способ описания времени в физике, который не предполагает бесконечно точного знания начальных условий.

Логика Времени

Современное признание того, что существует континуум действительных чисел, большинство из которых имеет бесконечное число цифр после запятой, прошло через яростные дебаты первых десятилетий 20-го века. Дэвид Гильберт, великий немецкий математик, поддержал стандартное в настоящее время представление о том, что реальные числа существуют и ими можно манипулировать как устоявшимися сущностями.

Против такого понимания числа выступили «интуиционисты» во главе с известным голландским топологом Лей Дж. Брауэром, который рассматривал математику как конструкт. Брауэр настаивал на том, что числа имеют конструктивистскую природу, они рассчитываются или определяются случайным образом, по одному. Числа конечны, настаивал Брауэр, и они также являются процессами: могут становиться более точными, когда больше цифр проявляется в последовательности, которая создается произвольным образом.

Таким образом подход интуиционистов предполагает некоторое переосмысление математических практик и утверждений, которые можно считать верными. Наиболее радикальное отклонение от стандартной математики состоит в том, что закон исключенного среднего не выполняется. Напомним, что этот закон говорит: либо утверждение верно, либо его отрицание истинно. Но в рамках математики Брауэра утверждения о числах не могут быть ни истинными, ни ложными в данный момент времени, поскольку точное значение числа еще не раскрылось.

Нет никакой разницы по сравнению со стандартной математикой, когда речь идет о числах, таких как 4 или ½, отношение длины окружности к ее диаметру. Даже несмотря на то, что pi само по себе иррационально, без конечного десятичного разложения, существует алгоритм для генерации его десятичного значения, делающий его такой же детерминантой, как и число типа ½.

Но рассмотрим другое число х, которое находится в поле ½.

Скажем, значение x равно 0,4999, где дополнительные цифры развертываются в последовательности некоего выбора. Возможно, последовательность девяток будет продолжаться вечно, и в этом случае x равнозначно ½. (Факт, что 0,4999… = 0,5, также справедлив в стандартной математике, поскольку x отличается от ½ меньше, чем любая конечная последовательность в разнице значений, и такой последовательностью можно пренебречь).

Но если в какой-то момент в рассматриваемой последовательности в будущем появится цифра, отличная от 9 - если, скажем, значение x составляет 4.999999999999997… - тогда независимо от того, что произойдет после этого, x считается меньше ½. Но до того, как это произойдет, «мы не знаем, появится ли когда-либо цифра, отличная от 9», - объясняет Карл Поси, философ математики в Еврейском университете в Иерусалиме и ведущий эксперт по интуиционистской математике.

«В то время как мы рассматриваем х, мы не можем сказать, что х меньше ½, и при этом мы не можем сказать, что х равен ½». Предложение «х равно ½» не соответствует действительности, равно как и его отрицание. Закон исключенного среднего не имеет смысла.

Кроме того, континуум цифр не может быть четко разделен на две части, состоящие из всех чисел, меньших ½ и тех, которые больше или равны ½. «Если вы попытаетесь разрезать континуум пополам, это число x будет прилипать к ножу, и оно не будет ни слева, ни справа», - поясняет Пози.

Когда-то Гильберт сравнил отказ от закона исключенного среднего с «запретом боксерам использовать кулаки», поскольку этот принцип лежит в основе многих математических выводов. И хотя интуиционистский структурализм Брауэра очаровывал Курта Геделя и Германа Вейля, стандартная математика с ее реальными числами доминирует из-за простоты использования. А не потому, что она верна или не верна.

Раскрытие времени

Гайсин впервые столкнулся с интуиционистской математикой на одном из семинаров в мае прошлого года, где присутствовал Пози. Гайсин быстро увидел связь между неиспользуемыми десятичными и физическим представлением о времени во вселенной. Казалось, материализующиеся цифры соответствуют последовательности моментов, определяющих настоящее, когда неопределенное будущее становится конкретной реальностью. Так появляются недетерминированные суждения о будущем.

В работе, опубликованной в декабре прошлого года в Physical Review, Гайсин и его сотрудник Флавио Дель Санто использовали интуиционистскую математику, чтобы сформулировать альтернативную версию классической механики, которая делает те же самые прогнозы, что и стандартные уравнения, но придает событиям неопределенность, создавая картину Вселенной, где время постепенно разворачивается.

В этой Вселенной мир недетерминирован, будущее открыто. Время, поясняет Гайсин, «не разворачивается, как кино в кино. Это действительно творческое разворачивание. Новые цифры создаются с течением времени».

Фэй Даукер, теоретик квантовой гравитации в лондонском Имперском колледже, «очень симпатизирует» аргументам Гайсина, поскольку «он на стороне тех из нас, кто считает, что физика не соответствует нашему опыту, и поэтому ей (физике — Alter Science) что-то не хватает».

Даукер согласна с тем, что математические языки формируют наше понимание времени в физике и что стандартная гильбертова математика, которая рассматривает действительные числа как законченные сущности, «безусловно, является статической... Она вне времени, и это определенно является ограничением для нас, физиков, если мы пытаемся включить нечто такое же динамичное, как наш опыт с течением времени».

Для таких физиков, как Даукер, которые заинтересованы в поиске связи между гравитацией и квантовой механикой, одним из наиболее важных последствий нового взгляда на время является соединение, казалось бы, несовместимых взглядов на мир. Классическая механика в некотором смысле ближе к квантовой теории, чем мы думали ранее.

Квантовая неопределенность и время

Если физики собираются разгадать тайну времени, им придется сталкиваться не только с пространственно-временным континуумом Эйнштейна, но и с осознанием того, что Вселенная в имманентно случайна и неопределена.

Квантовая теория рисует совсем другую картину времени, чем теория Эйнштейна.

«Наши две большие теории, квантовя теория и общая теория относительности, производят разные логики», - говорит Реннер. Он и несколько других физиков полагают, что это несоответствие лежит в основе борьбы за методологию описания Большого Взрыва.

Время в квантовой механике - жесткое, оно не переплетается с пространством, как в теории относительности. Кроме того, измерения квантовых систем «делают время в квантовой механике необратимым, тогда как в теории относительности оно полностью обратимо», - говорит Реннер. - «Так что время играет роль, которую мы до сих пор не понимаем».

Аркани-Хамед

Многие физики используют квантовую теорию для обоснования недетерминированной вселенной.

«У вас есть два атома урана: один из них распадается через 500 лет, а другой - через 1000 лет, и все же они полностью идентичны во всех отношениях», - поясняет Нима Аркани-Хамед, физик из Принстонского института. - «Во всех значимых смыслах вселенная не является детерминированной».

Тем не менее, другие популярные интерпретации квантовой механики, включая многомировую интерпретацию, позволяют поддерживать классическое, детерминистское представление о времени. Эти теории определяют квантовые события как игру предопределенной реальности. Здесь каждое квантовое измерение разделяет мир на множество ветвей, установленных заранее.

Идеи Гайсина предлагают другой путь. Вместо того чтобы пытаться сделать квантовую механику детерминистской теорией, он надеется представить общий, недетерминированный язык для классической и квантовой физики. Но этот подход существенно отличается от стандартной квантовой механики.

В квантовой механике информация может быть перемешана или перемешана, но никогда не может быть создана или уничтожена. Тем не менее, если значение чисел, определяющих состояние вселенной, со временем растут, как предполагает Гайсин, то появляется новая информация. По его гипотезе, в природе информация сохраняется потому, что «в процессе измерения создается явно новая информация». И уточняет: «Я говорю, что нам нужен другой способ взглянуть на все наши идеи».

Джонатан Оппенгейм

Джонатан Оппенгейм, физик-теоретик из Университетского колледжа Лондона, в свою очередь, считает, что информация действительно теряется. Он не знает, будет ли интуиционизм Брауэра ключом к тому, чтобы описать процесс «аннигиляции», но есть основания полагать, что создание и уничтожение информации могут быть тесно связаны со временем.

«Информация уничтожается по мере продвижения вперед во времени; она не разрушается при перемещении в космосе», - настаивает Оппенгейм. Измерения, составляющие блочную вселенную Эйнштейна, сильно отличаются друг от друга.

Будущее Времени

Идеи Гайсина вызвали ряд откликов у других теоретиков, у каждого из которых были свои предположение о будущем времени.

Несколько ученых согласились с тем, что реальные числа не кажутся физически реальными, и что физикам нужен новый формализм, который не зависит от исследователей. Ахмед Альмейри, физик-теоретик из Института перспективных исследований, изучающий черные дыры и квантовую гравитацию, уверен, что квантовая механика «исключает существование континуума». По его мнению, она объединяет энергию и другие величины в «пакеты», которые больше похожи на целые числа, а не на континуум как таковой.

Санду Попеску, физик из Бристольского университета, который часто переписывается с Гайсином, согласился с не-детерминизмом последнего, но не уверен, что интуиционистская математика необходима. Попеску возражает против идеи считать действительные числа информацией.

Аркани-Хамед счел использование интуиционистской математики интересным и потенциально актуальным для описания черных дыр и Большого взрыва, когда гравитация и квантовая механика вступают в явный конфликт.

«Эти вопросы - о числах как о конечных, или о существенных вещах, или о том, существует ли бесконечно много цифр, или цифры возникают по мере движения. Они могут быть связаны с тем, как мы должны формировать космологию, как применять квантовую механику».

Аркани-Хамед также видит необходимость в новом математическом языке, который мог бы «освободить» физиков от бесконечной точности и позволить им «говорить о вещах, которые немного размыты во времени».

Сам Гайсин надеется найти способ переформулировать теорию относительности и квантовую механику в терминах конечной, нечеткой интуиционистской математики, как он это сделал с ньютоновской механикой.

Однако есть «проблема хвоста»: попытайтесь локализовать квантовую систему, например, электрон на Луне. Стандартная математика говорит, что вероятность обнаружения такого электрона в земных условиях бесконечно приближена к нулю. «Хвост» математической функции, представляющей положение частицы, «становится экспоненциально малым, но ненулевым».

Гайсин задается вопросом: Какую реальность мы должны приписать сверхмалому числу? Большинство экспериментаторов сказали бы: «Поставь ноль и перестань задавать глупые вопросы». Но это не означает отсутствие физической реальности как таковой.

Теперь все зависит от того, какую математику используют физики и астрономы. Реальное в классической математике в интуиционистской версии может отсутствовать. И наоборот; а может и сосуществовать, но в разных тождествах, вероятностях и множествах. Электрон находится на Луне, но его шанс обнаружить на Земле вполне равен нулю, если мы не понимаем, как измерить его топологию. Не говоря уже об «увидеть».

Добавил:Всеволод Гордиенко Дата:2020-04-19 Раздел:Математика