Меню

Альтернативная философия математики

"Если бесконечное, поскольку оно бесконечно, непознаваемо, то и бесконечное по количеству или величине непознаваемо, сколь оно велико, и бесконечное по виду непознаваемо, каково оно по качеству. Поскольку начала бесконечны и по количеству и по виду, то познать образованные из них [вещи] невозможно: ведь мы только тогда полагаем, что познали сложную вещь, когда узнаем, из каких и из скольких [начал] она состоит..." Аристотель, "Физика",4гл..

"Бесконечность! Ни один вопрос не оказывал столь глубокого воздействия на человеческий дух, ни одна идея не стимулировала столь плодотворно интеллект человека, и тем не менее ни одно понятие не нуждается в прояснении так сильно, как понятие бесконечности" ..."Необходимо уяснить, что бесконечность лишена наглядного смысла и без более подробного исследования лишена всякого смысла, так как существует только то, что конечно. Не существует бесконечно большой скорости, равно как и бесконечно быстро распространяющейся силы или действия. К тому же действие по своей природе дискретно и существует только квантами. Не существует ничего континуального, сплошного, бесконечно делимого. Даже свет обладает корпускулярной, атомистической структурой, как и действие. Наша Вселенная, по моему глубокому убеждению, обладает лишь конечной протяженностью, и астрономы когда-нибудь сообщат нам, на сколько километров простирается мировое пространство в длину, высоту и ширину. И хотя в реальных случаях встречаются очень большие числа, например расстояния до звезд в километрах, или число потенциально возможных существенно различных шахматных партий, тем не менее нескончаемость, или бесконечность, поскольку она представляет собой отрицание того состояния, которое доминирует повсюду, есть чудовищная абстракция, которая реализуется только путем сознательного или несознательного применения аксиоматических методов. " Д.Гилберт.

Дэвид Гильберт

В августе 1900 года выдающийся немецкий математик Дэвид Гилберт выступил на Международном конгрессе математиков в Париже с историческим докладом, в котором сформулировал 23 важнейшие проблемы математики, главная из которых заключалась в создании логического основания математики свободного от противоречий и построенной на системе простых аксиом. Учитывая выдающиеся достижения в этой области науки казалось, что такая задача не вызовет больших трудностей, но уже через год английский логик Бертран Рассел нашёл неразрешимые противоречия, касающиеся классификации множеств.

Противоречия, которые пошатнули основания математической логики удалось устранить только введение новой аксиомы. Но в 1931 году Курт Гёгель опубликовал работу, в которой показал, что математика никогда не сможет быть логически совершенной. Во-первых, всегда существуют теоремы, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Во-вторых: непротиворечивость теории не может быть доказана теми методами, которые в ней формализуются. (Одно время существовала очевидная на первый взгляд и простая теорема, доказывающая бесконечность ряда натуральных чисел, который в свою очередь символизирует само понятие бесконечности (по Кантору) - примерно такая: "Если, следуя от противного, принять за N - конечное число последовательности натуральных чисел (1,2,3,...,N.), то достаточно к числу N прибавить единицу, чтобы доказать, что  N не является конечным натуральным числом. Такое действие можно продолжать постоянно, что доказывает бесконечность натурального ряда".

Но здесь проявилась явная некорректность доказательства. Выражение: "сколь угодно" , "непрерывно", "постоянно" и подобные лингвистические формы являются смысловыми синонимами понятия бесконечности, а поэтому недопустимы для доказательства этого понятия. Более того, если в первоначальном условии теоремы принято конечное число N, то оно распространяется и на количество арифметических действий. Да,  число N не является конечным натуральным числом, но конечное число операций с конечным числом элементов всегда будет в итоге  давать другое, пусть много большее, но обязательно конечное число M. 

Т.е. при правильной формулировке эта теорема скорее отвергает введение понятие бесконечности, чем его доказывает.) Вначале всем показалось, что теория Гёгеля о неполноте касается каких-то отдалённых, неведомых областей математики, но 1963 году математик Пауль Коэн выступил с сенсационным сообщением: ему удалось доказать неразрешимость одного из основных понятий математики - понятия континуума!.. (Как тут не вспомнить слова Парменида, утверждающего, что понятие бесконечности и движение бытия - ложно, т.к.  ведёт к неразрешимым противоречиям в логике.).  Казалось бы, что ничего страшного не произошло, ведь недоказуемость гипотезы континуума её не опровергает, но с точки зрения концепции платонизма математические сущности, подобно платоновым идеям должны объективно существовать (например, в качестве логических возможностей), а значит все их свойства должны быть однозначно определены.

Но как раз это полностью противоречит теореме Гёделя. Казавшаяся неколебимой со времён Платона общепринятая философия математики вдруг дала трещину...  Уже в XVIII-IXX веках такие исследователи как Гаусс, Лобачевский, Риман, Лоренц, Пуанкаре, Минковский, Гёдель сделали много, чтобы пересмотреть роль и суть понятия бесконечности. Немецкий математик, логик и философ Г.Фреге (1848-1925гг) с целью определения основ математики выдвинул идею строгой формализации математических рассуждений с абстрактным подходом к сути математики как не интерпретированному исчислению (формальной системе). Эта идея была поддержана  многими математиками во главе с Гильбертом....

Неудачные попытки создания непротиворечивых основ математики в XX веке,  вызвавшие серьёзные сомнения в её непогрешимости и безупречности, как основного инструмента познания окружающего мира, пробудили настроения скепсиса и нигилизма, в чём-то похожие на проблемы середины V века до н.э. времён софизма. акое впечатление, что выбранная когда-то, как единственно возможная, философия математики зашла в тупик. Всё чаще звучат прагматические предложения отказаться от строгости доказательств, считая приоритетной ценностью конечный практический результат вычислений, или принимать за таковые, например, полный пересчёт возможных вариантов решения задачи на ЭВМ. Вот несколько высказываний известных исследователей математики: 

“Буйное, плохо вмещающееся в какие-либо рамки, невероятно разнообразное в целях и методах – можно ли надеяться описать, хоть и кратко, но в то же время с достаточным охватом англо-американское философское предприятие? Ответ на этот вопрос – невозможно. Столь много философов творят в наше время, столь много проблем поднято ими, и поэтому полнота больше не представляется разумной амбицией." Дж. Пассмор.

"В XX веке самая точная из точных наук испытала перелом, который принципиально меняет характер получаемых в ней результатов. ... Математика столкнулась с проблемой практически непреодолимой сложности доказательств. Решение важной задачи, которая формулируется в нескольких предложениях, может занимать десятки тысяч страниц, что фактически делает невозможным его полную запись и понимание. Если в 1875 году каждый человек, способный к математике, мог за несколько месяцев полностью разобраться в доказательстве большинства известных теорем. К 1975 году большинство математиков еще могло полностью понять доказательство любой доказанной теоремы. К 2075 году многие области чистой математики будут зависеть от теорем, которые не понимает никто из математиков — ни индивидуально, ни коллективно. ... Обычным делом станет формальная верификация сложных доказательств, но при этом будет много результатов, признание которых будет основано на социальном консенсусе в не меньшей мере, чем на строгом доказательстве... Подобно инженерам, математики станут говорить не о твердом знании, а о степени уверенности в надежности своих результатов. Это может сблизить математику с другими дисциплинами и, возможно, приведет к снятию философского вопроса об особом онтологическом статусе математических объектов...». Брайан Дэвис "Куда идёт математика?"  

"Зачастую нет смысла философствовать по поводу математики, ища в ней скрытый смысл. Все, что есть в математике, – это деятельность работающих математиков, и поиски философов по поводу того, что такое математика, не имеют отношения к деятельности математиков. Философия тут берет ложный след... Работающий математик всю неделю сознает себя формалистом, и лишь по воскресеньям – платонистом." Р.Херш.

"Философия пошла по неверному пути, ассоциировав себя с математикой. Философия, подобно математике, опирается на аргументацию, поскольку обе науки используют логику. Но в отличие от общепринятых стандартов у математиков стандарты аргументации у философов оказались весьма различными. Отношения философии и богини Разума всегда были скорее отношениями вынужденного сожительства, нежели отношениями романтической связи, которая всегда существовала между математикой и богиней Разума. ...Заключения философов часто диктуются эмоциями и разум в этих заключениях играет лишь вспомогательную роль. А поиски философией окончательного ответа на свои вопросы вылилась в рабскую имитацию математики. Апелляция к математической логике, которая и представляет собой главную основу философии математики, оказалась несостоятельной, потому что логика больше не является частью философии. Математическая логика является процветающей частью математики, и она прекратила свои связи с основаниями математики. Ценой допущения логики в математическую область было гигиеническое очищение даже от следов философии”." Ж.К.Рота.

"Некоторые из глубочайших проблем философии состоят в примирении естественных, но несовместимых онтологий. Нигде такой конфликт не является столь старым, как в философии математики. Платон героически пытался найти правдоподобную эпистемологию для своей теории форм. Платонизм правдоподобен, когда вы мыслите о математической истине, но становится невозможным, когда речь идет о математическом познании. Так что стоит переосмыслить основные проблемы теории познания, коль скоро причинность, холизм и натурализованная эпистемология заняли место чувственных данных и аналитичности. Нашим интеллектуальным долгом является прогресс не просто в математической логике, но и в эпистемологии”У.Харт.

"Если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты? ...Дилемма ставит перед нами выбор: либо отрицать, что математика говорит о числах, либо предполагать некоторые неестественные способности человека в отношении сбора информации." П.Бенацерраф.

Для полной аналогии с ситуацией сложившейся во времена раннего софизма не хватает только появления нового Демокрита с альтернативной философией, способной разрешить возникшие проблемы, затрагивающие не только внутренние вопросы математики, но и мировоззренческие стороны гуманитарных и естественных наук. Впрочем, почему не хватает?  

В 1973 году чешский математик П.Вопенка предложил на рассмотрение альтернативную теорию множеств (AST), суть которой является изменение классического взгляда на понятие бесконечности в математике. Идея автора новой теории заключается в том, чтобы как постулат признать альтернативную бесконечность чем-то условно, неопределённо конечным! В качестве наглядного примера это можно сравнить с неким горизонтом, естественным образом ограничивающим наш взгляд на мир. Горизонт не является неподвижной или непреодолимой границей, не имеет определённого положения - он постоянно перемещается от нас по мере приближения к нему,  но невозможно попасть за горизонт, как бы мы не старались. Горизонт является как бы временной остановкой всегда ограничивающей наш взгляд, наши знания о чём-либо.

Принятие теории "естественной бесконечности"  как принципа условной границы, остановки при рассмотрении математических процессов, решает практически все проблемы теории множеств и снимает противоречия в большинстве логических  парадоксов. Блестящая идея П.Вопенка считается на сегодняшний день одной из самых перспективных теорий, но кажется всё это уже было 2,5 тыс. лет тому назад (см. "Ретроспекция бесконечности, или воспоминание о будущем"). Неужели Левкипп и Демокрит всё же оказались правы, ведь введение постулата дискретности, или условной конечности деления (при теоретической бесконечности) - их идея !? (Напомню, что по словам Аристотеля на введение такого постулата в геометрии задумывались и платонисты!) Но возможно ли примирить в рамках одной философии два совершенно противоположных  по смыслу понятия - бесконечности и конечности чего-либо?

Не вызовет ли это новые волны противоречий? Конечно, бесконечность в математике - понятие абсолютно идеализированное и абсолютно абстрактное, т.к. в реальном физическом мире ему нельзя найти ассоциаций, но многие математики считают, что теория не сильно пострадает, если чуть поступится принципом, принять вместо понятия "бесконечно большого (малого)" -  понятие "неопределённо большого (малого)", или, к примеру, "сколь угодно большого (малого)" , предполагая двойной смысл, в том числе и как конечное количество (действие).

Или, например, принятие дифференциала ничтожно малой, но величиной, нисколько не повредит ни теории, ни практике, а наоборот узаконит понятие интегрирования.    Может быть приемлем третий путь, который принят в других разделах науки - это признание т.н. дуализма познания, позволяющего параллельно в равных правах использовать, казалось бы, противоречивые методы. Проявление такого эффекта дуализма изначально заложено в структуру нашего сознания самой природой в виде двух полушарий мозга, отвечающих:: одно - за пространственно-образное, другое - за  логико-вербальное восприятие окружающего мира, что определяет суть самого процесса мышления - это абстрактное воображение и логический анализ. Поэтому тысячелетний философский  вопрос о том, что первично и истинно: логика или интуиция, опыт или предчувствие - вообще является не корректным, т.к. не серьёзно спорить о том, какому полушарию мозга можно доверять в большей степени.

Да и в принципе различия теорий Парменида и Гераклита носят только относительный характер. Апории Зенона в первую очередь показали, что невозможно отделить измерение пространства от измерения времени. Но дело в том, что мировоззренческая модель  Парменида и его последователей оставляет наблюдателя внутри рассматриваемой системы, тем самым время и пространство остаются синхронизированы между собой, что позволяет просто и логично решать  реальные математические задачи реального мира.

Сторонники теории Гераклита рассматривают мир как бы со стороны, а для наблюдателя производящего измерения в своей собственной системе отсчёта,  вносится поправка, (которая, как известно, задаётся преобразованиями Лоренца). Но точка наблюдения у Гераклита  не определена, а потому даёт только общее, теоретическое представление об объектах рассматриваемой системы, а значит для этой теории используются неопределённые понятия, типа бесконечности. Демокрит же предложил некий компромисс (инвариантность) - вводить для стороннего наблюдателя пусть и внесистемные, но определённые и неподвижные точки наблюдения (точки отсчета), что позволяет  рассматривать эти объекты всеобъемлюще, дискретно, соединяя теорию и практику. 

Поэтому спор о том, какая из математических теорий истинна или законна, мне кажется,  бессмысленный, так как они являются составными и необходимыми элементами единой системы познания. Ещё один интересный пример проявления дуализма двух теорий  в математике: в 18-ом веке Лобачевский, осознав недоказуемость постулата параллельности двух прямых, построил необычную геометрию, в которой допускалась существования множества прямых, проходящих через одну точку и параллельных данной прямой,- и, как известно, новая геометрия оказалась непротиворечивой!  Но самое интересное, что постулат Лобачевского о множестве параллельных возможен только в случае, если принять плоскость конечной,-  для бесконечной плоскости все эти прямые, кроме двух, должны пересекаться. Так какова же истинная геометрия нашего мира?..

Конечно, введение атомиской геометрии Демокрита на современном этапе невозможно, в первую очередь потому, что её уже (или ещё нет), и пока не понятно, как эта геометрия решала вопросы кривых (-неделимые отрезки, вещественные дифференциалы?) или, например, иррациональных? Хотя известно, что и пифагорейцы, и Демокрит эти проблемы всё-таки как-то решали,- очевидно у них было своё, принципиально отличное от Евклида, видение геометрии мира. ПРОКЛ. Комм. к Евклиду, 65, 11 Friedl. = ЕВДЕМ. История геометрии, фр. 133 W. (начало см. 11 А 11, ср. 86 В 12):

Следующим после него [Фалеса], кто предался занятиям геометрией, предание называет Мамерка, брата поэта Стесихора: После них Пифагор преобразовал занятия геометрией в свободную дисциплину, изучая ее высшие основания и рассматривая теоремы in abstracto [собств. 'в отвлечении от материи'] и ноэтически. Он же открыл теорию иррациональных и конструкцию космических фигур [=правильных многогранников]. ЯМВЛИХ. О пифагорейской жизни, 246:

Как сообщают, к тому, кто первым открыл недостойным посвящения в учения природу соизмеримости и несоизмеримости, [пифагорейцы] прониклись такой ненавистью и отвращением, что не только изгнали его из своего общества и общежития, но и соорудили ему гробницу в знак того, что они считают своего бывшего товарища ушедшим из жизни... Некоторые же утверждали, что это случилось с тем, кто разгласил учение об иррациональности и несоизмеримости. ЭЛИАС, CAG 18, 1. с. 125 Busse:

Кто-то из пифагорейцев, обнародовавший однотомное сочинение 'Об иррациональных линиях', попал в кораблекрушение за то, что выдал тайну. Но как бы там ни было, История совершила свой круг и создала все предпосылки внимательнее присмотреться ретроспективным взглядом на идеи прошлого.  Очевидно, что разрозненные остатки атомиской теории находится сейчас в малопригодном для современной математике состояние, которое в принципе можно было бы поправить, если бы на её восстановление и обработку было бы направлено столько же воли и усилий, сколько, например, на обоснование понятия бесконечности в математике.

Может быть предложенное выше гипотетическое решение Антифонта по квадратуре круга (совершенно незаконное с точки зрения современной математики), которое  формулой (конечным рядом) отображает трансцендентное число - есть только малая крупинка тех утраченных знаний первых материалистов Древней Греции? И как знать, может когда-нибудь альтернативная математика займёт своё законное место среди разнообразных методов познания.

Добавил: Дэвид Гилберт Дата: 2016-07-24 Раздел: Математика